数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 不定積分 / Page: 0]

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■10633 / inTopicNo.1)

　不定積分

▼■

□投稿者/ たんしこ一般人(3回)-(2006/04/03(Mon) 13:22:43)

\[\int

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■10636 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不定積分

▲▼■

□投稿者/ たんしこ一般人(4回)-(2006/04/03(Mon) 13:34:02)

■No10633に返信(たんしこさんの記事)
> $2$\displaystyle\int$

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■10637 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 不定積分

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□投稿者/ たんしこ一般人(5回)-(2006/04/03(Mon) 13:36:13)

2006/04/03(Mon) 14:03:13 編集(投稿者)

すいませんめちゃくちゃでした・・
$2$\displaystyle\int\frac{{(\sin x)^2}}{{\sin x+\cos x}}dx$ です。ただし0→π/2です。
どうやったらいいんですか？

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■10642 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 不定積分

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□投稿者/ 平木慎一郎一般人(40回)-(2006/04/03(Mon) 13:53:05)

2006/04/03(Mon) 13:53:53 編集(投稿者)

■No10637に返信(たんしこさんの記事)
> すいませんめちゃくちゃでした・・
> $2$\displaystyle\int\frac{{(\sin x)^2}}{{\sin x+\cos x}}dx$ です。
> どうやったらいいんですか？
分母は合成するなどしていけばできると思います。たしかにこれはかなり厄介な積分ですね。答えだけなら出ましたが、
$2$\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\log _{e}(\sqrt{2}+1)+C$

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■10646 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 不定積分

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□投稿者/ たんしこ一般人(7回)-(2006/04/03(Mon) 14:01:49)

■No10642に返信(平木慎一郎さんの記事)
> 2006/04/03(Mon) 13:53:53 編集(投稿者)
>
> ■No10637に返信(たんしこさんの記事)
>>すいませんめちゃくちゃでした・・
>> $2$\displaystyle\int\frac{{(\sin x)^2}}{{\sin x+\cos x}}dx$ です。
>>どうやったらいいんですか？
> 分母は合成するなどしていけばできると思います。たしかにこれはかなり厄介な積分ですね。答えだけなら出ましたが、
> $2$\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\log _{e}(\sqrt{2}+1)+C$
なんでそうなるんですか？途中経過を教えてください。

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■10648 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 不定積分

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□投稿者/ はまだ付き人(93回)-(2006/04/03(Mon) 14:23:30)

■No10637に返信(たんしこさんの記事)
> 2006/04/03(Mon) 14:03:13 編集(投稿者)
>
I=∫(sinx)^2/(sinx+cosx)dx
J=∫(cosx)^2/(sinx+cosx)dx
とおきます
x=π/2-tと置換すると
J＝∫[π/2、0](sint)^2/(cost+sint)(-dt)=・・=I
I+J=2I=∫1/(sinx+cosx)dx
合成して
2I=1/√2∫1/sin(x+π/4)dx
2√I=∫[π/4,3π/4]1/sinydy
=∫[π/4,3π/4]siny/(1-cos^2y)dy
cosy=uと置くと
du/dy=-siny
=∫[1/√2,-1/√2]1/(1-u^2)(-du)
=1/2∫[-1/√2,1/√2]｛1/(1-u)+1/(1+u)}du
=1/2[log{(1+u)/(1-u)}]

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■10664 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 不定積分

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□投稿者/ たんしこ一般人(8回)-(2006/04/03(Mon) 18:14:28)

■No10648に返信(はまださんの記事)
> ■No10637に返信(たんしこさんの記事)
>>2006/04/03(Mon) 14:03:13 編集(投稿者)
>>
> I=∫(sinx)^2/(sinx+cosx)dx
> J=∫(cosx)^2/(sinx+cosx)dx
> とおきます
> x=π/2-tと置換すると
> J＝∫[π/2、0](sint)^2/(cost+sint)(-dt)=・・=I
> I+J=2I=∫1/(sinx+cosx)dx
> 合成して
> 2I=1/√2∫1/sin(x+π/4)dx
> 2√I=∫[π/4,3π/4]1/sinydy
> =∫[π/4,3π/4]siny/(1-cos^2y)dy
> cosy=uと置くと
> du/dy=-siny
> =∫[1/√2,-1/√2]1/(1-u^2)(-du)
> =1/2∫[-1/√2,1/√2]｛1/(1-u)+1/(1+u)}du
> =1/2[log{(1+u)/(1-u)}]
ありがとうございました
>

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