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■10542 / inTopicNo.1)

　x^4=-1の解

□投稿者/ ML 一般人(1回)-(2006/03/31(Fri) 09:45:51)

始めまして。まだ中3（4月から）なので、とんでもない質問をするかもしれませんが、宜しくお願いします。

質問は、タイトルのとおりなんですが、ぼくの考えとしては、何も考えずに-1を移項して左辺を因数分解していくと、
x^4+1
=(x^2+i)(x^2-i)
この2式を2次方程式として解くと、x=±√i，±(√i)iになるんですが、複素数の定義は、「a，bを実数としてa+biで表される数」なので、√iは成立しない。つまり、x^4=-1の解は存在しない。これで合っていますか?（読みにくくてすみません）

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■10543 / inTopicNo.2)

　Re[1]: x^4=-1の解

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□投稿者/ 迷える子羊軍団(146回)-(2006/03/31(Fri) 09:52:11)

そんなことをしなくても以下の２曲線（直線も曲線に含まれる）
y=x^4+1
y=0
の交点を考えると、交点はないので「解はなし」となります。

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■10544 / inTopicNo.3)

　Re[1]: x^4=-1の解

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□投稿者/ せら一般人(33回)-(2006/03/31(Fri) 10:01:07)

質問は、タイトルのとおりなんですが、ぼくの考えとしては、何も考えずに-1を移項して左辺を因数分解していくと、
> x^4+1
> =(x^2+i)(x^2-i)
> この2式を2次方程式として解くと、x=±√i，±(√i)iになるんですが、複素数の定義は、「a，bを実数としてa+biで表される数」なので、√iは成立しない。つまり、x^4=-1の解は存在しない。これで合っていますか?（読みにくくてすみません）

√iは「二乗したらiになる数」です。この「二乗したらiになる数」は，実は複素数として表現できるので，
x=±√i，±(√i)i
が解として正当です。

実際に求めてみましょう。
$2$ \sqrt i = a + bi$
と置いて，両辺２乗すると
$2$ i = (a-b) + 2abi$
です。この等号が成立するんですから
$2$ a-b=0,2ab=1$
つまり
$2$ a = b = \pm \frac{1}{\sqrt 2}$
です。２乗したものを計算しているので，実際には
$2$ \pm \sqrt i = \pm \frac{1}{\sqrt 2} (1 + i)$
となっているわけですね。

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■10545 / inTopicNo.4)

　Re[2]: x^4=-1の解

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□投稿者/ ML 一般人(2回)-(2006/03/31(Fri) 10:09:40)

とても早い返事、ありがとうございます！！
よく分かりました。

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