数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 数列 / Page: 0]

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■10515 / inTopicNo.1)

　数列

□投稿者/ 天才バカボン★ 一般人(1回)-(2006/03/30(Thu) 07:31:47)

数列｛ａn｝の一般項はａn＝2ｎ＋1です。また数列｛ｂｎ｝の一般項はｂｎ＝2＾ｎである。ｎ≧2のとき、Ｔ＝ａ2ｂ1＋ａ4ｂ2＋ａ6ｂ3＋・・・・＋ａ2ｎｂｎをｎを用いてあらわしなさい。という問題で、これの答えはＴ＝（4ｎ－3）＊2＾（ｎ＋1）＋16です。
教えてください！お願いします！！　　

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■10516 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ せら一般人(29回)-(2006/03/30(Thu) 09:35:30)

■No10515に返信(天才バカボン★さんの記事)
> 数列｛ａn｝の一般項はａn＝2ｎ＋1です。また数列｛ｂｎ｝の一般項はｂｎ＝2＾ｎである。ｎ≧2のとき、Ｔ＝ａ2ｂ1＋ａ4ｂ2＋ａ6ｂ3＋・・・・＋ａ2ｎｂｎをｎを用いてあらわしなさい。という問題で、これの答えはＴ＝（4ｎ－3）＊2＾（ｎ＋1）＋16です。
> 教えてください！お願いします！！

まずはステップとして。
１） $2$\{ a_n \}$ は等差数列ですが，初項と公差は分かりますか？
２） $2$\{ b_n \}$ は等比数列ですが，初項と公比はわかりますか？
３） $2$\{ a_{2n} \}$ はどんな数列になりますか？
ここまでが数列の知識として前提となるものです。もうひとつ。
４） $2$S = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots +a_n b_n$ を求めよ，という問題はできますか？または，やったことがありますか？
どこから解説したらいいのか，ということもありますので，ここらへんを考えて返信していただけますか？

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■10524 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ 天才バカボン★ 一般人(3回)-(2006/03/30(Thu) 17:21:58)

■No10516に返信(せらさんの記事)
> ■No10515に返信(天才バカボン★さんの記事)
>>数列｛ａn｝の一般項はａn＝2ｎ＋1です。また数列｛ｂｎ｝の一般項はｂｎ＝2＾ｎである。ｎ≧2のとき、Ｔ＝ａ2ｂ1＋ａ4ｂ2＋ａ6ｂ3＋・・・・＋ａ2ｎｂｎをｎを用いてあらわしなさい。という問題で、これの答えはＴ＝（4ｎ－3）＊2＾（ｎ＋1）＋16です。
>>教えてください！お願いします！！
>
> まずはステップとして。
> １） $2$\{ a_n \}$ は等差数列ですが，初項と公差は分かりますか？
> ２） $2$\{ b_n \}$ は等比数列ですが，初項と公比はわかりますか？
> ３） $2$\{ a_{2n} \}$ はどんな数列になりますか？
> ここまでが数列の知識として前提となるものです。もうひとつ。
> ４） $2$S = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots +a_n b_n$ を求めよ，という問題はできますか？または，やったことがありますか？
> どこから解説したらいいのか，ということもありますので，ここらへんを考えて返信していただけますか？

返信遅れてすいません・・！！初項、公差、公比はわかります♪｛ａ2ｎ｝は一般項のｎに2ｎを代入して4ｎ＋1ですか？あと④番のやつはやったことないんですけど、
　ｎ　　ｎ　
T=Σａk＊Σbk=2＊（1/2）＊ｎ（ｎ＋1）＋ｎ＋2＊（2＾ｎ－1）=ｎ＾2＋2ｎ＋2・2ｎ－2
　ｋ=ｎｋ=ｎ
　となったんですけどどうなんでしょぉか・・？？

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■10525 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列

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□投稿者/ せら一般人(30回)-(2006/03/30(Thu) 17:47:29)

2006/03/30(Thu) 18:18:32 編集(投稿者)

>>まずはステップとして。
>>１） $2$\{ a_n \}$ は等差数列ですが，初項と公差は分かりますか？
>>２） $2$\{ b_n \}$ は等比数列ですが，初項と公比はわかりますか？
>>３） $2$\{ a_{2n} \}$ はどんな数列になりますか？
>>ここまでが数列の知識として前提となるものです。もうひとつ。
>>４） $2$S = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots +a_n b_n$ を求めよ，という問題はできますか？または，やったことがありますか？
>>どこから解説したらいいのか，ということもありますので，ここらへんを考えて返信していただけますか？
>
>
>
> 返信遅れてすいません・・！！初項、公差、公比はわかります♪｛ａ2ｎ｝は一般項のｎに2ｎを代入して4ｎ＋1ですか？
ＯＫ。この数列も等差数列ですね。

> あと（４）番のやつはやったことないんですけど、
> 　ｎ　　ｎ　
> T=Σａk＊Σbk=2＊（1/2）＊ｎ（ｎ＋1）＋ｎ＋2＊（2＾ｎ－1）=ｎ＾2＋2ｎ＋2・2ｎ－2
> 　ｋ=ｎｋ=ｎ
> 　となったんですけどどうなんでしょぉか・・？？

残念。
$2$ \sum_{k=1}^n a_k b_k =a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \\ ( \sum_{k=1}^n a_k)(\sum_{k=1}^n b_k) = (a_1 + a_2 + \cdots + a_n)(b_1 + b_2 + \cdots + b_n)$
です。上と下の式は別のもの（というか，下のほうがだいぶ大きい）ですよね。一般に，和の記号を（積において）勝手に分けてはいけません。

では，どうやって求めるか，に行きましょう。まずは（4）で見た $2$\{a_n b_n\}$ の和を求めることを考えましょう。本題も， $2$\{a_{2n}\}$ が等差だと分かっているので，要領は同じです。

$2$S_n = \sum_{k=1}^n a_k b_k$
と置きます。今のところ
$2$S_n = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$ …＊
ですが、これはこのままだと求められません。何とかして，等差だけ，等比だけの式にして公式を使いたいわけですが，ここでは
$2$b_{n+1} = 2 b_n$
という等比数列の性質を使います。どうやるかというと、 $2$S_n$ を2倍（公比倍）します。すると
$2$\ 2S_n \\ = 2a_1 b_1 + 2a_2 b_2 + \cdots + 2a_n b_n \\ = a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_{n+1}$ …＊＊
となりますね。ここで， $2$2S_n - S_n$ を計算してみると，＊と＊＊の差を取るので
$2$\ 2S_n - S_n \\ = (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)-(a_1 b_2 + a_2 b_3 + \cdots + a_n b_{n+1}) \\ = a_1 b_1 + (a_2 - a_1)b_2 + (a_3 -a_2)b_3 + \cdots + (a_n - a_{n-1})b_n - a_n b_{n+1}$
となります（項を並べて計算してみてください。上下に2つの式を，b_kのところが上下でそろうように並べて筆算してみると分かりやすいかも）
さて， $2$a_2 - a_1$ とか $2$a_3 -a_2$ とかは，全部 $2$\{a_n\}$ の公差になってますよね。公差は2ですから
$2$\ 2S_n - S_n \\ = a_1 b_1 + 2b_2 + 2b_3 + \cdots + 2b_n - a_n b_{n+1}$
となりました。
最初と最後の項をのぞけば， $2$2b_2 + 2b_3 + \cdots + 2b_n$ の部分は等比数列の和の公式で計算できますよね。最初と最後の項は後で足し引きしてあげればいいです。

「等差×等比」になっている数列の和はこんな風に計算するとうまくいくことが多いです。本題も，ほとんど同じようにすればできるはずです。

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■10527 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数列

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□投稿者/ 天才バカボン★ 一般人(4回)-(2006/03/30(Thu) 18:22:44)

すんごい分かりやすいです！！（感動）うちの学校の先生よりくわしいですし！もしかして先生なんですか？？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　”等比数列の性質”というのが、考えてみたんですけどあたしに理解能力がないために分かりませんでした（泣もしよろしければ教えていただけませんか？！

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■10528 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数列

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□投稿者/ せら一般人(32回)-(2006/03/30(Thu) 18:29:50)

■No10527に返信(天才バカボン★さんの記事)
> すんごい分かりやすいです！！（感動）うちの学校の先生よりくわしいですし！もしかして先生なんですか？？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　”等比数列の性質”というのが、考えてみたんですけどあたしに理解能力がないために分かりませんでした（泣もしよろしければ教えていただけませんか？！

性質，とかくと大げさだったかも知れませんが，要は
「等比数列っていうのは同じ数（公比）をかけてできる数を列に並べたもの」
という定義に戻りましょう，というだけです。
そうすると
$2$b_{n+1} = r b_n$ （ｒは公比）
っていうのはあたりまえなわけです。この「あたりまえ」（定義そのもの）を結構忘れやすいので気をつけておきたいですね。

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■10529 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数列

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□投稿者/ 天才バカボン★ 一般人(5回)-(2006/03/30(Thu) 18:51:48)

あっわかりました！！たとえばａ1に公比ｒをかけたらａ2になる。ａ2というのはａ(ｎ＋1）のこと。ってことですね！！ありがとうございましたぁ！！

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■10530 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 数列

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□投稿者/ K.M. 一般人(1回)-(2006/03/30(Thu) 19:54:37)

■No10515に返信(天才バカボン★さんの記事)
横から失礼します。これの答えはＴ＝（4ｎ－3）＊2＾（ｎ＋1）＋16です。

答えは間違いありませんか。

一般項：a_2n・ b_n=(4n+1)2^n

T_n=Σ[k=1 to n](4k+1)2^k
= 5・2+9・2^2+ 13・2^3+ . . . . +(4n+1)2^n . . . . (1)
両辺に2を掛けて
2T_n= 5・2^2+ 9・2^3 + 13・2^4 + . . . . + (4n-1)2^n + (4n+1)2^(n+1) . . . . (2)
(1)-(2)
-T_n= 5・2+ 4・2^2 + 4・2^3 + . . . . +(4n-1)2^n -(4n+1)2^(n+1)
= 2+ 4{2 +2^2 + . . . . +2^n)- (4n+1)2^(n+1)
= 2+ 4×2(2^n-1)/(2-1)-(4n+1)2^(n+1)
= 2+ 4・(2^(n+1)-2)- (4n+1)2^(n+1)
= 2+ 4・2^(n+1)-8 - (4n+1)2^(n+1)
= -(4n-3)2^(n+1)-6
∴ T_n= (4n-3)2^(n+1)+6

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■10549 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ 天才バカボン★ 一般人(6回)-(2006/03/31(Fri) 21:40:02)

あっはい！（4ｎ－3）・2＾（ｎ＋1）＋16ですけどぉ・・実はまだ答えにたどりつけてないんです（泣）計算のしかたがおかしいのかも・・・
T－2T＝5・2＋5・2＾2＋5・2＾3＋・・・・・ー（4ｎ＋1）・2＾（ｎ＋1）
こんな感じになっちゃいまして。。。

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■10553 / inTopicNo.10)

　Re[2]: 数列

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□投稿者/ K.M. 一般人(2回)-(2006/03/31(Fri) 22:16:33)

2006/03/31(Fri) 22:20:24 編集(投稿者)
2006/03/31(Fri) 22:19:38 編集(投稿者)

■No10530に返信(K.M.さんの記事)
> ■No10515に返信(天才バカボン★さんの記事)
> 横から失礼します。これの答えはＴ＝（4ｎ－3）＊2＾（ｎ＋1）＋16です。
>
> 答えは間違いありませんか。
>
> 一般項：a_2n・ b_n=(4n+1)2^n
>
> T_n=Σ[k=1 to n](4k+1)2^k
> = 5・2+9・2^2+ 13・2^3+ . . . . +(4n+1)2^n . . . . (1)
> 両辺に2を掛けて
> 2T_n= 5・2^2+ 9・2^3 + 13・2^4 + . . . . + (4n-1)2^n + (4n+1)2^(n+1) . . . . (2)
> (1)-(2)
> -T_n= 5・2+ 4・2^2 + 4・2^3 + . . . . +(4n-1)2^n -(4n+1)2^(n+1)
> = 2+ 4{2 +2^2 + . . . . +2^n)- (4n+1)2^(n+1)
> = 2+ 4×2(2^n-1)/(2-1)-(4n+1)2^(n+1)
> = 2+ 4・(2^(n+1)-2)- (4n+1)2^(n+1)
> = 2+ 4・2^(n+1)-8 - (4n+1)2^(n+1)
> = -(4n-3)2^(n+1)-6
> ∴ T_n= (4n-3)2^(n+1)+6

(1)-(2)のとき
(1)の5・2はそのまま残して、2の累乗が同じ項を縦にそろえて引きます。
そして、5×2は2+4×2のように、2を離し4でくくって{ }の中のような等比数列の和にします。
あなたの答えで、たとえば初めの3項、a2ｂ1＋ａ4ｂ2＋ａ6ｂ3 を計算してみて下さい。

>

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■10563 / inTopicNo.11)

　Re[3]: 数列

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□投稿者/ せら一般人(34回)-(2006/04/01(Sat) 09:04:19)

筆算の仕方。
$2$ \quad \quad \quad \quad T_n = 5 \cdot 2+9 \cdot 2^2 +13 \cdot 2^3 + \cdots + \{ 4(n-1)+1 \} \cdot 2^{n-1} + \quad \quad \quad (4n+1) \cdot 2^n \\ \quad \quad \underline{-)2T_n = \quad \quad \quad 5 \cdot 2^2 +9 \cdot 2^3 + \cdots + \{ 4(n-2)+1 \} \cdot 2^{n-1} + \{ 4(n-1)+1 \} \cdot 2^n + (4n+1) \cdot 2^{n+1} }\\ T_n - 2T_n = 5 \cdot 2+4 \cdot 2^2 +4 \cdot 2^3 + \cdots + \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 4 \cdot 2^{n-1} + \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 4 \cdot 2^n - (4n+1) \cdot 2^{n+1}$
縦に（ $2$2^k$ を「位」と見て）引いてみてください。

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■10567 / inTopicNo.12)

　Re[4]: 数列

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□投稿者/ あい一般人(5回)-(2006/04/01(Sat) 09:28:51)

やってみました！！でも答えが(4n-3)2^(n+1)+6になっちゃって・・
－Ｔ＝１０＋１６｛２＾(ｎ－１）－１｝－（４ｎ＋１）となって計算したんですけどすでにこれが違ってますか・・？

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■10568 / inTopicNo.13)

　Re[5]: 数列

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□投稿者/ せら一般人(36回)-(2006/04/01(Sat) 09:36:38)

2006/04/01(Sat) 09:40:14 編集(投稿者)

■No10567に返信(あいさんの記事)
＃（少なくとも，一つの質問スレッドの中では）名前は統一していただきたい（変えるなら変えたとかいといて欲しい）な，と思います。

> やってみました！！でも答えが(4n-3)2^(n+1)+6になっちゃって・・
> －Ｔ＝１０＋１６｛２＾(ｎ－１）－１｝－（４ｎ＋１）2^nとなって計算したんですけどすでにこれが違ってますか・・？
>
たぶん，解答が誤植なのでしょう。こちらの計算でも $2$ (4n-3)2^{n+1}+6$ になりました。

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■10571 / inTopicNo.14)

　Re[6]: 数列

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□投稿者/ 天才バカボン★ 一般人(7回)-(2006/04/01(Sat) 09:48:46)

あ～ごめんなさい！！本名があいなんでまちがえてしまいました・・・！！
答えが間違ってるかもしれないんですね！！確認しておきます。それについてわかったら一応報告したいと思います！！ありがとうございました！！

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