数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 微分について・・ / Page: 0]

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■10433 / inTopicNo.1)

　微分について・・

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□投稿者/ ('-'*) 一般人(3回)-(2006/03/26(Sun) 18:55:06)

d^2y/dx^2=dt/dx・d/dt(dy/dx)なのはわかるのですが、
d^2y/dx^2≠d/dt(dt/dx)・dy/dxなのがわかりません。なぜ≠になるのでしょうか?
理由を教えていただきたいです、よろしくお願いします。

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■10435 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分について・・

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□投稿者/ 平木慎一郎一般人(16回)-(2006/03/26(Sun) 19:22:09)

感覚的に言えば、それはd/dt(dt/dx)はdt/dxのtにおける微分ですから
これはd^2y/dx^2という第2次導関数を表すものではありません。
おそらくこれは、「この式の両辺を分数計算と勘違いしてdtで約分してはならない」ということでしょうか？微分と言っているのになんだかおかしいですね。
媒介変数などを考えてもこの式はあきらかです。
それにd/dt(dt/dx)は0ですし・・・・

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■10460 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分について・・

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□投稿者/ ('-'*) 一般人(4回)-(2006/03/27(Mon) 11:40:11)

x=t-sint,y=1-cost(0＜t＜2ぱい)のとき、d^2y/dx^2をtを用いて表せという問題で、dx/dt=1-cost,dy/dt=sint,dy/dx=sint/(1-cosx)となり、
d^2y/dx^2=dt/dx・d/dt(dy/dx)=1/(1-cost)・d/dt{sint/(1-cost)}=-1/(1-cost)^2となりますが、
d/dt(dt/dx)・dy/dx={1/(1-cost)}'・sint/(1-cost)
=-sint/(1-cost)^2・sint/(1-cost)=-(sinx)^2/(1-cost)^3=-(1+cost)/(1-cost)^2となり、dt/dx・d/dt(dy/dx)≠d/dt(dt/dx)・dy/dxとなってしまうのですが・・・

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■10461 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 微分について・・

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□投稿者/ X 大御所(395回)-(2006/03/27(Mon) 12:24:13)

二次導関数を引っ張り出しているので分かり難くなっていると思います。
y,xが媒介変数tの関数であるとき
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(dt/dx)(dy/dt)
ですが
dy/dx={(d/dt)(dt/dx)}y
は一般には成立しません。つまり
(dt/dx)(dy/dt)≠{(d/dt)(dt/dx)}y (A)
(A)のyがdy/dxに置き換わっただけです。

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■10463 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 微分について・・

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□投稿者/ 平木慎一郎一般人(22回)-(2006/03/27(Mon) 12:34:43)

では最初の等式について
媒介変数表示の関数の微分法ですから
dy/dxはtで表されています。しかしそれをd/dxとはできないのでd/dxを分解する必要があります。ということはdt/dx・d/dtとなってdy/dxに適するほうはd/dtですね
よってd^2y/dx^2=dt/dx・d/dt(dy/dx)となります。
一方第2式。d/dt(dt/dx)は当然ながらこれで立派な微分という操作です。先ほどのは「媒介」としてd/dxを分解したわけですので、d/dt(dt/dx)とは異なります。よってd/dxを表すものとは違うものになってしまいます。
ですからあなたの言うとおり≠です。これはあなたの計算の通り成り立ちます。
でも普通第2式のような誤りがあるよ、などと忠告はないと思いますが・・
どこかに出ていたのですか？

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■10464 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 微分について・・

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□投稿者/ 平木慎一郎一般人(23回)-(2006/03/27(Mon) 12:37:43)

■No10461に返信(Xさんの記事)
> 二次導関数を引っ張り出しているので分かり難くなっていると思います。
> y,xが媒介変数tの関数であるとき
> dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(dt/dx)(dy/dt)
dtの位置が違うような・・・
> ですが
> dy/dx={(d/dt)(dt/dx)}y
> は一般には成立しません。つまり
> (dt/dx)(dy/dt)≠{(d/dt)(dt/dx)}y (A)
> (A)のyがdy/dxに置き換わっただけです。

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■10465 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 微分について・・

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□投稿者/ 平木慎一郎一般人(24回)-(2006/03/27(Mon) 12:44:41)

でもそこまで深く考えなくてもいいことだと思います。
二つの式を見比べてみて、意味の違いに気づくことが大切です。

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■10468 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 微分について・・

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□投稿者/ ('-'*) 一般人(5回)-(2006/03/27(Mon) 13:04:57)

レスありがとうございます。
平木さん、忠告みたいなものがあったわけでないのですが、
d^2y/dx^2=dt/dx・d/dt(dy/dx)ということを一度は納得していたのですが、あとになってd^2y/dx^2を計算したとき、d^2y/dx^2=d/dt(dt/dx)・dy/dxと計算していて間違っていました。
ちょっとまだあまり理解できていないのですが、あまり肝要なところではないんですかね・・?

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■10470 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 微分について・・

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□投稿者/ 平木慎一郎一般人(25回)-(2006/03/27(Mon) 15:01:16)

■No10468に返信(('-'*)さんの記事)
> レスありがとうございます。
> 平木さん、忠告みたいなものがあったわけでないのですが、
> d^2y/dx^2=dt/dx・d/dt(dy/dx)ということを一度は納得していたのですが、あとになってd^2y/dx^2を計算したとき、d^2y/dx^2=d/dt(dt/dx)・dy/dxと計算していて間違っていました。
> ちょっとまだあまり理解できていないのですが、あまり肝要なところではないんですかね・・?
なるほど。ならば安心です。たしかにややこしい部分ではありますし・・

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