数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 方程式（三角関数） / Page: 0]

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■10157 / inTopicNo.1)

　方程式（三角関数）

□投稿者/ Risa 一般人(10回)-(2006/03/16(Thu) 00:25:38)

2006/03/16(Thu) 00:40:18 編集(投稿者)
2006/03/16(Thu) 00:28:19 編集(投稿者)
2006/03/16(Thu) 00:28:11 編集(投稿者)

いつも教えてくださってありがとうございます。受験勉強をしているとわからないことが出てきて、本当に皆さんに感謝感謝です！！

[問題]
xについての方程式 sin3x+5/2cos2x+9sinx+a=0が0≦x≦2πにおいてことなる3つの実数解をもつように定数aの値を定めよ。また、そのときの3つの実数解の和を求めよ。

少し解いてみたんですがやっぱりわかりません・・・
sin3x+5/2cos2x+9sinx+a=0
⇔(3sinx-4sin^3x)+5/2(1-2sin^2x)+9sinx+a=0
sinx=t(-1≦t≦1)とおくと
-4t^3-5t^2+9t+a-5/2=0
y=f(t)=-4t^3-5t^2+9t+a-5/2とおく
f'(t)=-12t^2-10t+12
=-2(2t+3)(3t-2)

こんな風にやってみたのですがどこが間違っているのかと解答をよろしくお願いします。

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■10160 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 方程式（三角関数）

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□投稿者/ はまだ一般人(40回)-(2006/03/16(Thu) 00:39:00)

■No10157に返信(Risaさんの記事)
> [問題]
> xについての方程式 sin3x+5/2cos2x+9sinx+a=0が0≦x≦2πにおいてことなる3つの実数解をもつように定数aの値を定めよ。また、そのときの3つの実数解の和を求めよ。
>
⇔(3sinx-4sin^3x)+5/2(1-2sin^2)+9sinx+a=0　が勘違い　以下それの影響で

f'(t)=-12t^2-10t+12=-2(2t+3)(3t-2)
あとはf(-3/2)*f(3/2)<0を解けばOK

3つの実数解をもつ条件は
f'(x)=0が2つの実数解をもち、その解α、βについてｆ(α)*f(β)＜0　です。
受験がんばって下さい。

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■10161 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 方程式（三角関数）

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1306回)-(2006/03/16(Thu) 00:41:08)

とりあえず、

$2$\sin 3x+\displaystyle \frac{5}{2}\cos 2x+9\sin x+a=0$

$2$(3\sin x-4\sin ^{3}x)+\displaystyle \frac{5}{2}(1-2\sin ^{2}x)+9\sin x+a=0$

$2$-4\sin ^{3}x-5\sin ^{2}x+12\sin x+a+\displaystyle \frac{5}{2}=0$

$2$-4t^{3}-5t^{2}+12t+a+\displaystyle \frac{5}{2}=0$

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■10162 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 方程式（三角関数）

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□投稿者/ はまだ一般人(41回)-(2006/03/16(Thu) 00:49:55)

■No10157に返信(Risaさんの記事)
sinx=tとおいたところをすっかり忘れていました。
ｘが3つの実数解をもつなので
f(t)＝0、が3つではなかったですね。
たとえば
ｔ＝0が解のときｘ＝0、π、2πとなるので3つの実数解をもちます。よってa=-5/2
ところがf(t)=0は　ｔ＝0以外にも-1～1の間に解を持ちますので、ｘの実数解は4つ以上になります。
この点を考慮すると、かなり場合分けが必要ですね。

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■10163 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 方程式（三角関数）

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1307回)-(2006/03/16(Thu) 00:59:24)

Risaさん、範囲は0≦x≦2πでOKですか。
0≦x＜2πではありませんでしたか。

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■10164 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 方程式（三角関数）

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□投稿者/ Risa 一般人(11回)-(2006/03/16(Thu) 01:03:15)

■No10163に返信(だるまにおんさんの記事)
> Risaさん、範囲は0≦x≦2πでOKですか。
> 0≦x＜2πではありませんでしたか。
ごめんなさい・・・ 0≦x＜2πです・・さっきからそんなのばっかです↓・・

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■10165 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 方程式（三角関数）

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□投稿者/ Risa 一般人(13回)-(2006/03/16(Thu) 01:15:24)

■No10162に返信(はまださんの記事)
> ■No10157に返信(Risaさんの記事)
> sinx=tとおいたところをすっかり忘れていました。
> ｘが3つの実数解をもつなので
> f(t)＝0、が3つではなかったですね。
> たとえば
> ｔ＝0が解のときｘ＝0、π、2πとなるので3つの実数解をもちます。よってa=-5/2
> ところがf(t)=0は　ｔ＝0以外にも-1～1の間に解を持ちますので、ｘの実数解は4つ以上になります。
> この点を考慮すると、かなり場合分けが必要ですね。

言っていることはよく分かるのですが、どのように場合分けしたらいいのかわかりません・・・教えて下さい！

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■10166 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 方程式（三角関数）

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□投稿者/ はまだ一般人(42回)-(2006/03/16(Thu) 01:17:57)

■No10157に返信(Risaさんの記事)
t=0のときx=0,π、2π
t=1のときx=π/2
t=-1のときx=3π/2
t=-1～1で上記以外のときx=2つの解
これらを調べると
t=1のときa=-11/2で　他の解は(-9+-√129)/8なので
x=π/2と（-9+√129)/8に対応するxが2つ登場し(α、βとしておきます）、ちょうど3つの実数解になります。
解の和はα+β＝πより　3π/2となります。

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■10193 / inTopicNo.9)

　Re[2]: 方程式（三角関数）

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□投稿者/ Risa 一般人(16回)-(2006/03/17(Fri) 01:15:27)

返事が遅くなってすみません・・！
はまださん、だるまにおんさん、丁寧にどうもありがとうございました。おかげで解決しました☆

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