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■6597
/ inTopicNo.1)
数値積分?楕円積分?
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□投稿者/ オーロ
一般人(1回)-(2005/12/16(Fri) 16:26:15)
∫[-π/2,π/2]√(1+cos^2θ)dθ
この積分が解けません。
ルートの中にコサインの2乗が入った形です。
どなたか教えてください。
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■6607
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 数値積分?楕円積分?
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□投稿者/ X
大御所(351回)-(2005/12/17(Sat) 14:24:11)
複素積分に変換します。
与式をIとします。
Iにおいて
z=e^(iθ)
と置くと、dθ=dz/z,cosθ=(z+1/z)/2
∴
I=∫[C]√[1+{(z+1/z)^2}/4]dz/z
=∫[C][{√(z^4+5z^2+1)}/2z^2]dz (A)
(但しC:z=e^(iθ)(θ:-π/2→π/2))
(A)を留数定理を使って計算すれば求められると思います。
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■6661
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 数値積分?楕円積分?
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□投稿者/ オーロ
一般人(2回)-(2005/12/19(Mon) 13:18:47)
すいません。留数定理がまったくわかりません。
答えはどうなりますか?
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■6821
/ inTopicNo.4)
Re[3]: 数値積分?楕円積分?
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□投稿者/ X
大御所(353回)-(2005/12/24(Sat) 10:11:21)
ごめんなさい。勉強不足でした。
∫[-π/2,π/2]√(1+cos^2θ)dθ
=2∫[0,π/2]√(2-sin^2θ)dθ
=(2√2)∫[0,π/2]√{1-(1/2)sin^2θ}dθ
と変形できますが
∫[0,π/2]√{1-(1/2)sin^2θ}dθ
は母数1/2の第一種完全楕円積分であり、解析解は存在しません。
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