| 2次関数y=a(x-p)^2+q (a,p,qは実数)のとき、頂点は(p,q)になることを 使うと分かると思います。 (1)下に凸な2次関数は、定義域が決まっていなければ、 頂点で最小値をとります。(グラフを書けば分かると思います。) よって、x=2で最小ということは、頂点のx座標が2ということです。 ゆえに、y=a(x-2)^2+pとおくことができます。 あとは、(-1,6)(4,1)を通るので、これを代入して 6=a(-1-2)^2+p⇒9a+p=6 1=a(4-2)^2+p⇒4a+p=1 この連立方程式を解いて、a=1,p=-3 従って、y=a(x-2)^2+pに代入して、y=(x-2)^2-3が答えです。
(2)y=a(x-p)^2+qとおきます。答えがy=x^2+ax+bとなっているので、 x^2の係数を比べるとa=1でないといけないことが分かります。 次に、x軸に接するということは、頂点のy座標が0ということがわかります。 よって、q=0なので、a=1とq=0を代入して、y=(x-p)^2になります。 あとは、(1,1)を通るので、これを代入すると 1=(1-p)^2⇒p^2-2p=0⇒p=0,2 よって、p=0,2を代入して、y=x^2,y=(x-2)^2になります。 しかし、y=x^2はx軸の正の部分と接するという条件に合わない (x=0で接するので)ので、答えはy=(x-2)^2になります。
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