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■25815
/ inTopicNo.1)
証明問題
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□投稿者/ pon
付き人(63回)-(2007/06/20(Wed) 23:06:44)
f(x)=x^2のとき、平均値の定理におけるθの値は区間にかかわらず一定であることを示せ。
どなたか分かりやすく教えていただけないでしょうか?
宜しくお願いします。
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■25817
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 証明問題
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□投稿者/ miyup
大御所(1248回)-(2007/06/21(Thu) 00:07:14)
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No25815
に返信(ponさんの記事)
> f(x)=x^2のとき、平均値の定理におけるθの値は区間にかかわらず一定であることを示せ。
θとは何のことでしょうか?
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■25822
/ inTopicNo.3)
Re[1]: 証明問題
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□投稿者/ けにい
軍団(137回)-(2007/06/21(Thu) 12:47:46)
つまり、ある種の関数 f (平均値の定理参照)は 0 < θ < 1 を用いて
(f(x + h) - f(x))/h = f'(x + θh)
と表されるということですね。それなら、上式に f(t) = t^2 を当て
はめればきっとできますよ。
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■25824
/ inTopicNo.4)
Re[2]: 証明問題
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□投稿者/ pon
付き人(64回)-(2007/06/21(Thu) 16:43:01)
miyupさん
問題にそのように書いてあって、よく分かりません;
けにいさん
(f(x + h) - f(x))/h = f'(x + θh)
というのは公式ですか?
平均値の定理というものでは、{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c) a<c<bとありましたが。
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■25826
/ inTopicNo.5)
Re[3]: 証明問題
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□投稿者/ miyup
大御所(1250回)-(2007/06/21(Thu) 17:09:58)
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No25824
に返信(ponさんの記事)
> miyupさん
> 問題にそのように書いてあって、よく分かりません;
θとは何か、問題の近くに書いてあるはずです。
けにいさんのおっしゃるとおりならば、θ=1/2(定数) となります。
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■25827
/ inTopicNo.6)
Re[3]: 証明問題
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□投稿者/ せら。
一般人(1回)-(2007/06/21(Thu) 17:12:08)
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No25824
に返信(ponさんの記事)
> miyupさん
> 問題にそのように書いてあって、よく分かりません;
>
> けにいさん
> (f(x + h) - f(x))/h = f'(x + θh)
> というのは公式ですか?
> 平均値の定理というものでは、{f(b)-f(a)}/(b-a)=f'(c) a<c<bとありましたが。
ということは、まずあなたがやるべきことは「問題のθがどこから出てきたか」をきちんと確かめること。
いくつか類推はできますが,それが問題で求められているθである保証はまったくありませんので,問題の意味を確実にするためにも,是非確認をお願いします。
#というか,そこがわからないんだから解けないのはアタリマエ,なんじゃないのかなぁ。問題のキモになる文字なんだし。
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■25845
/ inTopicNo.7)
Re[3]: 証明問題
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□投稿者/ けにい
軍団(138回)-(2007/06/22(Fri) 02:02:53)
公式というか、平均値の定理の「系」(簡単に導かれる事実)とでも言いま
しょうか。定理というものには往々にして、いくつかの異なるバージョン
があります。その問題が載っている本に、平均値の定理の別バージョンが
紹介されていませんか?上に書いたようなものが...
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■25877
/ inTopicNo.8)
Re[4]: 証明問題
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□投稿者/ pon
付き人(65回)-(2007/06/23(Sat) 00:26:42)
f(a+h)=f(a)+f'(a+θh)h 0<θ<1
というものがありました!
あとf(t)=t^2を当てはめるとでると言っていましたが、
(f(x + h) - f(x))/h = f'(x + θh)
に代入するんですよね?
どうやったら、θ=1/2になるのでしょうか・・・
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■25878
/ inTopicNo.9)
Re[5]: 証明問題
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□投稿者/ miyup
大御所(1253回)-(2007/06/23(Sat) 08:13:15)
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No25877
に返信(ponさんの記事)
> (f(x + h) - f(x))/h = f'(x + θh)
f(t)=t^2, f'(t)=2t より
f(x+h)=(x+h)^2, f(x)=x^2, f'(x+θh)=2(x+θh)
を等式に代入します。
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■25913
/ inTopicNo.10)
Re[6]: 証明問題
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□投稿者/ pon
付き人(66回)-(2007/06/23(Sat) 21:52:41)
代入すると
{(x+h)^(2)-x^2}/h=2(x+θh)となりますよね?
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■25917
/ inTopicNo.11)
Re[7]: 証明問題
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□投稿者/ miyup
大御所(1259回)-(2007/06/23(Sat) 23:06:54)
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No25913
に返信(ponさんの記事)
> {(x+h)^(2)-x^2}/h=2(x+θh)となりますよね?
あとは展開して整理してください。
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