| 2007/03/28(Wed) 16:39:53 編集(投稿者) 2007/03/28(Wed) 16:37:12 編集(投稿者)
問題の積分を ∫[x:0→1]dx/(1+x+x^2) と解釈して解きます。
∫[x:0→1]dx/(1+x+x^2) =∫[x:0→1]dx/{3/4+(x+1/2)^2} (A) =(4/3)∫[x:0→1]dx/{1+(2x/√3+1/√3)^2} =4[(1/2)(√3)arctan(2x/√3+1/√3)][x:0→1] =(2√3){arctan√3-arctan(1/√3)} =(2√3)(π/3-π/6) =π/√3 となります。
高校生でまだ ∫dx/(1+x^2)=arctanx+C (C:積分定数) を習っていない(大学の教養で学びます) のなら(A)まで変形した後に x+1/2={(1/2)√3}tanθ と置いて置換積分してみましょう。
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