| 模範解答と異なるかも知れませんが、考え方を回答しておきます。
-1≦x≦1 (A) とします。 まず(A)に極小値を取るxの値 x=a (B) が含まれるか否か、で場合分けします。 又、 極大値を取るxの値 x=-a (C) と(B)がx=0に関して対称になっていること と 変域(A)がx=0に関して対称になっていること に注意します。
i)(A)に(B)が含まれないとき この場合のaの条件は、(B)が(A)の範囲外右側になりますので 1<a このとき、上記の対称性から(C)も(A)の範囲外左側にありますので 結局この場合の(A)におけるf(x)は単調減少になります。 よって 最小値はf(1)=1-3a^2+2a^3
ii)(A)に(B)が含まれるとき この場合のaの条件は、(B)が(A)の範囲内になりますので -1≦a≦1 (D) このときも上記の対称性から(C)も(A)の範囲内にありますので (A)におけるy=f(x)のグラフは三次関数特有のN型になります。 よって最小値はf(a),f(-1)のうちの小さいほうになることが分かります。 ここで I)f(a)が最小値であるようなaの範囲は f(a)≦f(-1) (E) なるaの不等式を解いて(D)との共通範囲を取れば求められます。 f(x)=x^3+a^3+a^3-3(a^2)x=(x+a+a)(x^2+a^2+a^2-ax-ax-a^2) =(x+2a)(x-a)^2 に注意すると (E)より 0≦(2a-1)(a+1)^2 ∴1/2≦a ∴(D)より 1/2≦a≦1 逆に II)f(-1)が最小値であるようなaの範囲は f(-1)<f(a) (F) なるaの不等式を解いて(D)との共通範囲を取れば求められますね。 検算はしていませんが、 -1≦a<1/2 となると思います。
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