| a=(Ax,Ay,Az)=AxEx+AyEy+AzEz b=(Bx,By,Bz)=BxEx+ByEy+BzEz Ex=(1,0,0) Ey=(0,1,0) Ez=(0,0,1) とすると a×b=(AxEx+AyEy+AzEz)×(BxEx+ByEy+BzEz) =AxEx×BxEx+AxEx×ByEy+AxEx×BzEz +AyEy×BxEx+AyEy×ByEy+AyEy×BzEz +AzEz×BxEx+AzEz×ByEy+AzEz×BzEz
=AxBx(Ex×Ex)+AxBy(Ex×Ey)+AxBz(Ex×Ez) +AyBx(Ey×Ex)+AyBy(Ey×Ey)+AyBz(Ey×Ez) +AzBx(Ez×Ex)+AzBy(Ez×Ey)+AzBz(Ez×Ez)
=AxBx0+AxBy(Ex×Ey) -AxBz(Ez×Ex) -AyBx(Ex×Ey)+AyBy0+AyBz(Ey×Ez) +AzBx(Ez×Ex) -AzBy(Ey×Ez)+AzBz0
=(AyBz-AzBy)(Ey×Ez)+(AzBx-AxBz)(Ez×Ex)+(AxBy-AyBx)(Ex×Ey) =(AyBz-AzBy)Ex +(AzBx-AxBz)Ey +(AxBy-AyBx)Ez
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