 | 横から失礼します。
らすかるさんの解法を見て閃いたので、一応別解として書き込ませて頂きます。
# かなり端折って書きます。
組み合わせの数nCrをC(n, r)と記述します。
コインの表が出る確率をpとすると1/2 < p ≦ 1です。
表になるコインの枚数と全コインの枚数nの奇遇が一致する確率をa[n]とします。
奇遇が一致しない確率をb[n]とします。
# らすかるさんの記述のqが私の記述のa[n]と同義。
n = 1のとき、a[1] = p, b[1] = 1-pはほぼ自明。
n = 2のときは、コイン1とコイン2のの表裏は
(コイン1, コイン2) = (表, 表)(表, 裏)(裏, 表)(裏, 裏)
の4通りなので、
a[2] = C(2, 2)(p^2)+C(2, 0)((1-p)^2)
b[2] = C(2, 1)p(1-p)
となります。
一般のnでは、n = 2の場合から推論して、nが偶数のときs = 0, nが奇数のときs = 1として
a[n] = C(n, n)(p^n)((1-p)^0)+C(n, n-2)(p^(n-2))((1-p)^2)+・・・+C(n, s)(p^s)((1-p)^(n-s))
b[n] = C(n, n-1)(p^(n-1))((1-p)^1)+C(n, n-3)(p^(n-3))((1-p)^3)・・・+C(n, 1-s)(p^(1-s))((1-p)^(n-s+1))
C(n, r) = C(n, n-r)という性質と、二項定理を使えば
a[n]+b[n] = {p+(1-p)}^n = 1
a[n]-b[n] = {p-(1-p)}^n = (2p-1)^n
2p-1 > 0ですから、a[n]-b[n] > 0となり、a[n] > 1/2と言えます。
ちなみに、
a[n] = (1/2){1+(2p-1)^n} > 1/2
b[n] = (1/2){1-(2p-1)^n}
ですね。
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