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■42158 / inTopicNo.1) 　Re[12]: 管理者の方にお願い
  ▼■
□投稿者/ 子猫 一般人(6回)-(2010/07/15(Thu) 06:30:03)
    参りました。m(_ _)m

    納得です。大変有難うございます。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42155 / inTopicNo.2) 　管理者の方にお願い
□投稿者/ 風あざみ 一般人(5回)-(2010/07/14(Wed) 17:11:09)
    No42153ですが、削除キーを入力し忘れてしまいました。
    お手数ですが、No42153の削除の方よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42154 / inTopicNo.3) 　訂正
□投稿者/ 風あざみ 一般人(4回)-(2010/07/14(Wed) 16:50:57)
    「a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b,c}=1⇒
    c=Π_{i=1}^r p_i^{e_i}ならp_i≡1(mod4)(但し,i=1,2,…,r)」

    要するにcの素因数pを任意にとったとき
    p≡1 (mod 4)となることを示せばよい。

    p=2と仮定する。
    a^2+b^2≡c^2≡0 (mod 4)となる

    a,b共に奇数のとき
    a^2+b^2≡2 (mod 4)となり不適
    a,bの一方が偶数、他方が奇数のとき
    a^2+b^2≡1 (mod 4)となり不適
    a,bともに偶数のとき
    cも2で割り切れるからa,b,c共に2で割り切れるから
    a,b,cが公約数2を持つことになり、gcd(a,b,c)=1
    に反するから不合理

    したがってp=2にはなりえない

    pは奇素数である
    p≡3 (mod 4)と仮定する
    a^2+b^2≡0 (mod p)
    a^2≡-b^2 (mod p)
    両辺を(p-1)/2乗すると
    a^(p-1)≡(-1)^{(p-1)/2}*b^(p-1) (mod p)
    (p-1)/2は奇数だから
    a^(p-1)≡-b^(p-1) (mod p)
    したがってa^(p-1)+b^(p-1)≡0 (mod p)
    が成り立つ

    a,b共にpで割り切れないとき
    フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡b^(p-1)≡1 (mod p)より
    a^(p-1)+b^(p-1)≡2 (mod p)となり不適
    a,bの一方がpで割り切れ、他方がpで割り切れないとき
    フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡1またはb^(p-1)≡1 (mod p)より
    a^(p-1)+b^(p-1)≡1 (mod p)となり不適
    a,bともにpで割り切れるとき
    cもpで割り切れるからa,b,c共にpで割り切れるから
    a,b,cが公約数pを持つことになり、gcd(a,b,c)=1
    に反するから不合理

    したがって、p≡3 (mod 4)とはなりえない

    以上よりcの任意の素因数pはp=2にも、p≡3 (mod 4)にもなりえないから
    p≡1 (mod 4)とならざるを得ない。

    c=Π[i=1→r] (p_i)^(e_i)ならp_i≡1(mod4)ならばp_i≡1 (mod 4)がいえた
    「a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b,c}=1⇒
    c=π_{i=1}^r p_i^{e_i}ならp_i≡1(mod4)(但し,i=1,2,…,r)」

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42153 / inTopicNo.4) 　Re[9]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ 風あざみ 一般人(3回)-(2010/07/14(Wed) 16:48:31)
    「a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b,c}=1⇒
    c=Π_{i=1}^r p_i^{e_i}ならp_i≡1(mod4)(但し,i=1,2,…,r)」

    要するにcの素因数pを任意にとったとき
    p≡1 (mod 4)となることを示せばよい。

    p=2と仮定する。
    a^2+b^2≡c^2≡0 (mod 4)となる

    a,b共に奇数のとき
    a^2+b^2≡2 (mod 4)となり不適
    a,bの一方が偶数、他方が奇数のとき
    a^2+b^2≡1 (mod 4)となり不適
    a,bともに偶数のとき
    cも2で割り切れるからa,b,c共に2で割り切れるから
    a,b,cが公約数2を持つことになり、gcd(a,b,c)=1
    に反するから不合理

    したがってp=2にはなりえない

    pは奇素数である
    p≡3 (mod 4)と仮定する
    a^2+b^2≡0 (mod p)
    a^2≡-b^2 (mod p)
    両辺を(p-1)/2乗すると
    a^(p-1)≡(-1)^{(p-1)/2}*b^(p-1) (mod p)
    (p-1)/2は奇数だから
    a^(p-1)≡-b^(p-1) (mod p)
    したがってa^(p-1)+b^(p-1)≡0 (mod p)
    が成り立つ

    a,b共にpで割り切れないとき
    フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡b^(p-1)≡1 (mod p)より
    a^(p-1)+b^(p-1)≡2 (mod p)となり不適
    a,bの一方がpで割り切れ、他方がpで割り切れないとき
    フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡1またはb^(p-1)≡1 (mod p)より
    a^(p-1)+b^(p-1)≡1 (mod p)となり不適
    a,bともにpで割り切れるとき
    cもpで割り切れるからa,b,c共にpで割り切れるから
    a,b,cが公約数pを持つことになり、gcd(a,b,c)=1
    に反するから不合理

    したがって、p≡3 (mod 4)とはなりえない

    以上よりcの任意の素因数pはp=2にも、p≡3 (mod 4)にもなりえないから
    p≡1 (mod 4)とならざるを得ない。

    c=Π[i=1→r] (p_i)^(e_i)ならp_i≡1(mod4)ならばp_i≡1 (mod 4)がいえた
    「a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b,c}=1⇒
    c=π_{i=1}^r p_i^{e_i}ならp_i≡1(mod4)(但し,i=1,2,…,r)」

    要するにcの素因数pを任意にとったとき
    p≡1 (mod 4)となることを示せばよい。

    p=2と仮定する。
    a^2+b^2≡c^2≡0 (mod 4)となる

    a,b共に奇数のとき
    a^2+b^2≡2 (mod 4)となり不適
    a,bの一方が偶数、他方が奇数のとき
    a^2+b^2≡1 (mod 4)となり不適
    a,bともに偶数のとき
    cも2で割り切れるからa,b,c共に2で割り切れるから
    a,b,cが公約数2を持つことになり、gcd(a,b,c)=1
    に反するから不合理

    したがってp=2にはなりえない

    pは奇素数である
    p≡3 (mod 4)と仮定する
    a^2+b^2≡0 (mod p)
    a^2≡-b^2 (mod p)
    両辺を(p-1)/2乗すると
    a^(p-1)≡(-1)^{(p-1)/2}*b^(p-1) (mod p)
    (p-1)/2は奇数だから
    a^(p-1)≡-b^(p-1) (mod p)
    したがってa^(p-1)+b^(p-1)≡0 (mod p)
    が成り立つ

    a,b共にpで割り切れないとき
    フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡b^(p-1)≡1 (mod p)より
    a^(p-1)+b^(p-1)≡2 (mod p)となり不適
    a,bの一方がpで割り切れ、他方がpで割り切れないとき
    フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡1またはb^(p-1)≡1 (mod p)より
    a^(p-1)+b^(p-1)≡1 (mod p)となり不適
    a,bともにpで割り切れるとき
    cもpで割り切れるからa,b,c共にpで割り切れるから
    a,b,cが公約数pを持つことになり、gcd(a,b,c)=1
    に反するから不合理

    したがって、p≡3 (mod 4)とはなりえない

    以上よりcの任意の素因数pはp=2にも、p≡3 (mod 4)にもなりえないから
    p≡1 (mod 4)とならざるを得ない。

    c=Π[i=1→r] (p_i)^(e_i)ならp_i≡1(mod4)ならばp_i≡1 (mod 4) がいえた
    (ただしi=1,2,…,r)
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42135 / inTopicNo.5) 　Re[8]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ 子猫 一般人(5回)-(2010/07/13(Tue) 06:36:11)
    > 「二つの」素数の積とは書いてありませんよ。
    > 「ｃ が四を法として一に合同な素数の積になる」は
    > 「ｃの素因数はすべて四を法として一に合同である」
    > という解釈になると思います。

    どうもすいません。"each"と書いてありましたね。
    そうしますと
    「a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b,c}=1
    ⇒
    c=π_{i=1}^r p_i^{e_i}ならp_i≡1(mod4)(但し,i=1,2,…,r)」
    が本来示したい命題となりますね。
    これならa=3.b=4,c=5の時,
    cの素因数は5だけで5≡1(mod4)と確かになっていますね。

    それでやはり

    「a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b,c}=1
    ⇒
    c=π_{i=1}^r p_i^{e_i}ならp_i≡1(mod4)(但し,i=1,2,…,r)」

    はどうすれば示せますでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42125 / inTopicNo.6) 　Re[7]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ らすかる 大御所(836回)-(2010/07/12(Mon) 08:39:57)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    「二つの」素数の積とは書いてありませんよ。
    「ｃ が四を法として一に合同な素数の積になる」は
    「ｃの素因数はすべて四を法として一に合同である」
    という解釈になると思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42124 / inTopicNo.7) 　Re[6]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ 子猫 一般人(4回)-(2010/07/12(Mon) 08:11:33)
    > 誠に残念ながら、ご想像の通り誤釈でしょう。

    そうでしたか。

    > 大まかな訳文は、
    > 数 ｃ が、原始ピタゴラス数の組 （ａ，ｂ，ｃ） の斜辺成分として現れる
    > のは、ｃ が四を法として一に合同な素数の積になる場合、
    > かつその場合に限られます。
    > ぐらいでいかがでしょうか。

    つまり,
    「a^2+b^2=c^2,GCD{a,b,c}=1 ⇔ ∃x,y∈N;x≡y≡1(mod4),c=xy」
    でいいのでしょうか??

    これでも
    a=3,b=4,c=5の場合
    a^2+b^2=c^2=25,GCD(3,4,5)=1となるが、c=5だからcは二つの素数の積ではない。
    よって、a=3,b=4,c=5のときc=xyと書けない。

    よって⇒は偽となりますよね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42115 / inTopicNo.8) 　Re[5]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ のぼりん 一般人(1回)-(2010/07/11(Sun) 12:05:32)
    こんにちは。
    突然の割込みしつれいします。

    誠に残念ながら、ご想像の通り誤釈でしょう。

    大まかな訳文は、

    数 ｃ が、原始ピタゴラス数の組 （ａ，ｂ，ｃ） の斜辺成分として現れるのは、ｃ が四を法として一に合同な素数の積になる場合、かつその場合に限られます。

    ぐらいでいかがでしょうか。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42103 / inTopicNo.9) 　Re[4]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ 子猫 一般人(3回)-(2010/07/10(Sat) 06:12:42)
    > この命題自体成立しない。
    > そもそもcが、c=xyと二つの素数の積になる保証がないし。
    > 反例
    > a=3,b=4,c=5の場合
    > a^2+b^2=c^2=25,GCD(3,4)=1となるが、c=5だからcは二つの素数の積ではない。
    > よって、a=3,b=4,c=5のときc=xyと書けない。

    そうですね。仰る通りです。。。

    原文は
    「Pythagorean Hypotenuse Proposition.
    A number c appears as the hypotenuse of a primitive Pythagorean triple (a,b,c,)
    if and only if c is a product of primes each of which is congruent to 1 modulo 4.」

    となっているのですが,誤釈でしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42085 / inTopicNo.10) 　Re[3]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ 風あざみ 一般人(2回)-(2010/07/06(Tue) 00:34:03)
    この命題自体成立しない。
    そもそもcが、c=xyと二つの素数の積になる保証がないし。

    反例
    a=3,b=4,c=5の場合
    a^2+b^2=c^2=25,GCD(3,4)=1となるが、c=5だからcは二つの素数の積ではない。
    よって、a=3,b=4,c=5のときc=xyと書けない。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42084 / inTopicNo.11) 　Re[2]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ 子猫 一般人(2回)-(2010/07/06(Tue) 00:13:40)
    問題を書きミスってしまいました。m(_ _)m

    a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1なら
    Z∋∃x,yは素数でc=xy,x≡1(mod4),y≡1(mod4)を満たす。

    、、です。申し訳ありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42083 / inTopicNo.12) 　Re[1]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ 風あざみ 一般人(1回)-(2010/07/05(Mon) 23:58:36)
    問題がありすぎるな。
    x,yはどんな素数を指すのか全く分からない以上、答えようがない。
    例えばa=3,b=4,c=5のときx,yはどうなるのか？

    そもそも、x,yというのは、cの素因数なのか、aの素因数なのか、bの素因数なのか
    はたまたa,b,cのいずれかの素因数なのか、そこら辺をきちんとしないと「この問題は欠陥問題」と言わざるを得ないね。

    一応、cの素因数について書いておく
    「cの素因数pはp=2あるいはp≡1 (mod 4)のいずれかであることは
    証明できる」、
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■42081 / inTopicNo.13) 　a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
□投稿者/ 子猫 一般人(1回)-(2010/07/05(Mon) 09:13:47)
    よろしくお願い致します。

    a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)

    を示したいのです。
    多分,「uがu≡1(mod4)なる素数なら∃s,t∈Z;u=s^2+t^2」という命題を使うのだと思うのですが

    どのようにして示せますでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


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