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Re[9]: a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b}=1ならZ∋∃x,yは素数;x≡1(mod4),y≡1(mod4)
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□投稿者/ 風あざみ 一般人(3回)-(2010/07/14(Wed) 16:48:31)
 | 「a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b,c}=1⇒
c=Π_{i=1}^r p_i^{e_i}ならp_i≡1(mod4)(但し,i=1,2,…,r)」
要するにcの素因数pを任意にとったとき
p≡1 (mod 4)となることを示せばよい。
p=2と仮定する。
a^2+b^2≡c^2≡0 (mod 4)となる
a,b共に奇数のとき
a^2+b^2≡2 (mod 4)となり不適
a,bの一方が偶数、他方が奇数のとき
a^2+b^2≡1 (mod 4)となり不適
a,bともに偶数のとき
cも2で割り切れるからa,b,c共に2で割り切れるから
a,b,cが公約数2を持つことになり、gcd(a,b,c)=1
に反するから不合理
したがってp=2にはなりえない
pは奇素数である
p≡3 (mod 4)と仮定する
a^2+b^2≡0 (mod p)
a^2≡-b^2 (mod p)
両辺を(p-1)/2乗すると
a^(p-1)≡(-1)^{(p-1)/2}*b^(p-1) (mod p)
(p-1)/2は奇数だから
a^(p-1)≡-b^(p-1) (mod p)
したがってa^(p-1)+b^(p-1)≡0 (mod p)
が成り立つ
a,b共にpで割り切れないとき
フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡b^(p-1)≡1 (mod p)より
a^(p-1)+b^(p-1)≡2 (mod p)となり不適
a,bの一方がpで割り切れ、他方がpで割り切れないとき
フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡1またはb^(p-1)≡1 (mod p)より
a^(p-1)+b^(p-1)≡1 (mod p)となり不適
a,bともにpで割り切れるとき
cもpで割り切れるからa,b,c共にpで割り切れるから
a,b,cが公約数pを持つことになり、gcd(a,b,c)=1
に反するから不合理
したがって、p≡3 (mod 4)とはなりえない
以上よりcの任意の素因数pはp=2にも、p≡3 (mod 4)にもなりえないから
p≡1 (mod 4)とならざるを得ない。
c=Π[i=1→r] (p_i)^(e_i)ならp_i≡1(mod4)ならばp_i≡1 (mod 4)がいえた
「a^2+b^2=c^2且つGCD{a,b,c}=1⇒
c=π_{i=1}^r p_i^{e_i}ならp_i≡1(mod4)(但し,i=1,2,…,r)」
要するにcの素因数pを任意にとったとき
p≡1 (mod 4)となることを示せばよい。
p=2と仮定する。
a^2+b^2≡c^2≡0 (mod 4)となる
a,b共に奇数のとき
a^2+b^2≡2 (mod 4)となり不適
a,bの一方が偶数、他方が奇数のとき
a^2+b^2≡1 (mod 4)となり不適
a,bともに偶数のとき
cも2で割り切れるからa,b,c共に2で割り切れるから
a,b,cが公約数2を持つことになり、gcd(a,b,c)=1
に反するから不合理
したがってp=2にはなりえない
pは奇素数である
p≡3 (mod 4)と仮定する
a^2+b^2≡0 (mod p)
a^2≡-b^2 (mod p)
両辺を(p-1)/2乗すると
a^(p-1)≡(-1)^{(p-1)/2}*b^(p-1) (mod p)
(p-1)/2は奇数だから
a^(p-1)≡-b^(p-1) (mod p)
したがってa^(p-1)+b^(p-1)≡0 (mod p)
が成り立つ
a,b共にpで割り切れないとき
フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡b^(p-1)≡1 (mod p)より
a^(p-1)+b^(p-1)≡2 (mod p)となり不適
a,bの一方がpで割り切れ、他方がpで割り切れないとき
フェルマーの小定理よりa^(p-1)≡1またはb^(p-1)≡1 (mod p)より
a^(p-1)+b^(p-1)≡1 (mod p)となり不適
a,bともにpで割り切れるとき
cもpで割り切れるからa,b,c共にpで割り切れるから
a,b,cが公約数pを持つことになり、gcd(a,b,c)=1
に反するから不合理
したがって、p≡3 (mod 4)とはなりえない
以上よりcの任意の素因数pはp=2にも、p≡3 (mod 4)にもなりえないから
p≡1 (mod 4)とならざるを得ない。
c=Π[i=1→r] (p_i)^(e_i)ならp_i≡1(mod4)ならばp_i≡1 (mod 4) がいえた
(ただしi=1,2,…,r)
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