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■39160 / inTopicNo.1) 　一様収束の問題
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□投稿者/ とうふ 一般人(1回)-(2009/07/29(Wed) 01:42:55)
    2009/07/29(Wed) 01:45:17 編集(投稿者)

    教科書には略解しか載ってなくて困ってます…。誰か詳しい解答をわかる方お願いします。


    問.次の関数列は一様収束するか。

    (1)fn(x)=x^(2n)/(1+x^(2n))　I=[0,1]
    (2)fn(x)=n^(p)xe^(-nx^2)　　I=(-∞,∞),（p：定数）



    略解では(1)は一様収束しないとだけ書いてあるのですが、それは単に極限関数が不連続だからということなんでしょうか？
    教科書ではこの問題の数ページ後に「一様収束するならば極限関数は連続である」という記述が出てきてて、
    一応不連続ということでも解答になるとは思うのですが、恐らく正式な解答は違うやり方をしてると思うのでそちらの方を教えていただきたいです。
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■39164 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 一様収束の問題
□投稿者/ KINO 付き人(53回)-(2009/07/29(Wed) 20:57:12)
    『連続関数の』一様収束極限は連続関数だから，ということですね。
    (1) の関数列 fn は [0,1] で連続なのに極限関数は [0,1] で不連続なので一様収束でない，というのはシンプルでよいと思いますが。

    > 恐らく正式な解答は違うやり方をしてると思うのでそちらの方を教えていただきたいです。

    どういう解答をもって『正式な解答』と判断されるのか基準が不明なため，ひどい見当違いかもしれませんが，ひょっとして一様収束するかどうかを定義に基づいて直接調べる方法について知りたいということなのでしょうか。

    それは[0,1]における fn の最大値が n によらない 1/2 という定数になるから，とでも言えば十分でしょう。
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■39165 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 一様収束の問題
□投稿者/ とうふ 一般人(2回)-(2009/07/29(Wed) 21:23:09)
    レスありがとうございます。

    > ひょっとして一様収束するかどうかを定義に基づいて直接調べる方法について知りたいということなのでしょうか。

    言い方が曖昧ですみませんでした。そういうことです。


    > それは[0,1]における fn の最大値が n によらない 1/2 という定数になるから，とでも言えば十分でしょう。

    この場合のsup｜fn(x)-f(x)│は1/2でいいんでしょうか？
    っていうかそもそもなんでsup｜fn(x)-f(x)│→0なら一様連続といえるのかがよくわからないんですが…。
    縦につぶれるように近づいていくということが本質なら、不連続ということを考えなければ(1)のfn(x)は縦につぶれるように近づいてますよね？
    大学の数学は丁寧に説明がされてないので疑問がわきすぎてどうにもならなくて困ってます…
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■39174 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 一様収束の問題
□投稿者/ サボテン 大御所(417回)-(2009/07/30(Thu) 15:41:18)
    2009/07/30(Thu) 16:58:14 編集(投稿者)

    横から失礼致します。

    この場合fn(x)はf(x)=0 x∈[0,1), f(x)=1/2 x=1
    という関数に収束します。

    この時、あるNが存在して、n>Nなるn,x∈[0,1]の全てのxに対して、
    |fn(x)-f(x)|がほとんど0にできる・・・と言うのが一様収束です。

    しかし、この場合はいくらnを大きくしても、1に限りなく近いxを選ぶと、
    f(x)=0ですが、fn(x)は0より大きい値になります。

    よっていくらnを大きくしても、x∈[0,1]の全てのxに対して、|fn(x)-f(x)|を0に近づけることができません。


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■39176 / inTopicNo.5) 　Re[3]: 一様収束の問題
□投稿者/ KINO 付き人(54回)-(2009/07/30(Thu) 17:31:06)
    2009/07/30(Thu) 17:32:01 編集(投稿者)

    ■No39165に返信(とうふさんの記事)
    > この場合のsup｜fn(x)-f(x)│は1/2でいいんでしょうか？
    > っていうかそもそもなんでsup｜fn(x)-f(x)│→0なら一様連続といえるのかがよくわからないんですが…。

    εδ式に，sup|fn(x)-f(x)|→0 であることと，fn が f に一様収束することを書いてみて下さい。
    両者を見比べて，同じところと違うところを指摘して下さい。
    あとは，違うところが見かけ上違うだけであって，内容が同じであることを理解しましょう。
    sup という便利な記号を使ってごまかさずに sup|fn(x)-f(x)|→0 を書き表すよう試みることです。
    こういう感じに紙に実際に式を書いて分析しないと，わかるようにはなれません。

    > 縦につぶれるように近づいていくということが本質なら、不連続ということを考えなければ(1)のfn(x)は縦につぶれるように近づいてますよね？

    イメージは大切ですが，どうもそのイメージが理解の妨げになっているようですね。
    「縦につぶれる」というのはいい加減すぎます。
    これではつぶれ方が『x に関して一様である』という一様収束という概念の核心が完全に失われてしまっています。

    > 大学の数学は丁寧に説明がされてないので疑問がわきすぎてどうにもならなくて困ってます…

    そういう疑問を自力で解決していくのが大学における勉強だと理解して下さい。
    いつでも誰かが『わかりやすく』『丁寧に』教えてくれるわけではないのですから，そんなときに自力で解決する術を今のうちに会得することです。
    それしか方法はありません。
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■39187 / inTopicNo.6) 　Re[4]: 一様収束の問題
□投稿者/ とうふ 一般人(4回)-(2009/07/31(Fri) 16:54:22)
    お二人ともレスありがとうございます。
    おかげで一様収束の意味が理解できました。

    ＞そういう疑問を自力で解決していくのが大学における勉強だと理解して下さい。
    いつでも誰かが『わかりやすく』『丁寧に』教えてくれるわけではないのですから，そんなときに自力で解決する術を今のうちに会得することです。
    それしか方法はありません。

    高校まではわからないところは完全に理解できるまで徹底的に考えて、先生に質問するときも家で何時間も考えてからしたりしてたのですが、大学の数学は説明が
    全部抽象的でイメージがしづらく、また情報量が少なくてどの教科書、HPも同じようなことしか書いてないため非常に勉強しづらいです。一応大学の数学相談室と
    いうものがあるんですがもうやってなくて、テスト前になって勉強を始めて数多くの疑問が湧いてきたかんじなので今回はこの掲示板を利用させていただきました。
    これからは普段から数学相談室を利用するようにしようと思います。ありがとうございました。
解決済み!
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