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■34916 / inTopicNo.1)  Re:
  
□投稿者/ 3a 付き人(80回)-(2008/08/07(Thu) 10:39:18)
    答えはあっています。

    また、円になることを前提ということは証明を必要とするということでしょうか?できればその証明も教えていただければうれしいです。

    お願いします。

    (携帯)
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■34773 / inTopicNo.2)  Re[1]: 回転した体積
□投稿者/ X 大御所(273回)-(2008/07/31(Thu) 19:12:56)
    2008/07/31(Thu) 19:19:28 編集(投稿者)

    >>そこから求める体積をだす場合、かなりめんどくさいですか?
    どのように計算するにしても
    V=∫Sdu
    (S:断面の楕円の面積、u:断面に垂直な座標軸)
    の形に持っていくことに違いはありません。

    >>また、y=x+l〜
    断面積の正射影を考えて積分する方針はいいのですが立式を誤っています。
    >>∫[0→3/4]S'×(l/√2)dl

    >>(l/√2)
    をかけている根拠と
    S'=π(t+1/2)^2 (A)
    としている根拠が不明です。
    (A)について。
    No.34713で示した問題の立体の底面の楕円の面積Sを計算すると
    S=π/√2
    これのzx平面に関する正射影の面積をS'とすると
    S'=Scos45°=π/2
    これは(A)でt=0のときの値と合いません。

    正射影を使う方針だと以下のようになります。
    (但し、これは問題の断面の楕円のzx平面に対する正射影が円になることが
    使えることを前提にしています。)
    問題の立体の
    平面y=x+l
    による断面の楕円の軸の一つは
    直線y=x+l,z=0 (B)

    放物線y=-x^2+3/4,z=0 (C)
    によって切られる線分になります。
    この長さをL,(B)(C)の交点のx座標をα、βとすると
    L^2=(β-α)^2+{(β+l)-(α+l)}^2
    =2(β-α)^2 (D)
    又α、βは(B)(C)から得られる、xの二次方程式
    x^2+x+l-3/4=0
    の解ですので解と係数の関係から
    α+β=-1 (E)
    αβ=l-3/4 (F)
    (E)(F)を(D)に用いると
    L^2=2(4-4l)
    よってこの断面のzx平面への正射影である円の半径をrすると
    r=(L/2)cos45°=L/(2√2)
    であることから正射影の面積をS'とすると
    S'=πr^2=(π/8)L^2
    =π(1-l)
    ∴断面の面積をSとするとSに対する微小体積dVは
    dV=S(cos45°)dl
    ((∵)断面に垂直な直線とy軸とのなす角は45°ゆえ、
    dVに当たる図形の高さは
    (cos45°)dl)
    =(S'/cos45°)(cos45°)dl
    =S'dl
    =π(1-l)dl
    (B)(C)が交点を持つ条件から
    0≦l≦1
    であることに注意して求める体積をVとすると
    V=∫[0→1]π(1-l)dl=π/2
    となります。
    (何かややこしい議論の割りに最後の積分の式がやたらに簡単なのが不安ですが。)
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■34754 / inTopicNo.3)  Re:
□投稿者/ 3a 付き人(78回)-(2008/07/30(Wed) 22:21:38)
    身勝手ですが…、お願いしま〜す。

    (携帯)
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■34720 / inTopicNo.4)  Re:
□投稿者/ 3a 付き人(75回)-(2008/07/28(Mon) 20:47:44)
    確かになりました。ありがとうございます。

    そこから求める体積をだす場合、かなりめんどくさいですか?
    また、y=x+l…@でその体積を切って、@とy=-x^2+3/4…Aのx>0における交点を(t,-t^2+3/4)として@でAを切ったときのHに水平な面の面積をSとすればSを真上から光を当てたときの影は円になるのでその面積をS'とすると、Scos45゚=S'を用いて、∫[0→3/4]S'×(l/√2)dl=π∫[0→3/4]l×(t+1/2)^2dlとl=-t^2+3/4の2式より答えをだしたのですが、答えが全く合わなかったので間違ってると思うのですがどこが間違ってるかご指摘お願いします。

    (携帯)
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■34713 / inTopicNo.5)  Re[1]: 回転した体積
□投稿者/ X 大御所(270回)-(2008/07/28(Mon) 11:44:23)
    z軸を取って考えると曲面Kの方程式は
    y=-(x^2+z^2)+3/4 (A)
    又、平面Hの方程式は
    y=x (B)
    と取っても一般性を失いません。
    今、(B)とxy平面の交線をt軸に取ります。
    (但し、xy平面上で原点から第1象限への向きを正の向きに取ります)
    このとき(B)上の点(x,y,z)をtz座標で考えると
    x=t/√2,y=t/√2 (C)
    (C)を(A)に代入して
    t/√2=-{(1/2)t^2+z^2}+3/4
    これを整理するとtz座標における楕円の方程式になります。


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■34702 / inTopicNo.6)  回転した体積
□投稿者/ 3a 付き人(74回)-(2008/07/27(Sun) 22:53:16)
    放物線y=-x^2+3/4をy軸のまわりに回転して得られる曲面Kを、原点を通り回転軸と45゚の角をなす平面Hで切る。曲面Kと平面Hで囲まれた立体の体積をもとめよ(東京大学)
    という問題でこの囲まれた立体を切ったときの切り口は楕円もしくは円のどちらかになると思うのですが、どちらでしょうか?また、その証明も教えてください。
    お願いします。

    (携帯)
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