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■43761
/ inTopicNo.1)
積分計算
▼
■
□投稿者/ mitti
一般人(6回)-(2011/05/31(Tue) 23:01:18)
∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3の計算で、x=(√3/2)t-1/2と置換しています。これは公式なのですか。x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4で何となくそれらしき形は出てきますが・・・
公式であるのならば、それを教えてください。
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■43763
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 積分計算
▲
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□投稿者/ bad
一般人(1回)-(2011/06/01(Wed) 19:18:35)
置換法が公式だということではなく,
あるいは
を既知として, それに帰着しているのでしょう.
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■43768
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 積分計算
▲
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■
□投稿者/ mitti
一般人(7回)-(2011/06/03(Fri) 08:06:03)
■
No43763
に返信(badさんの記事)
> 置換法が公式だということではなく,
あるいは
を既知として, それに帰着しているのでしょう.
高校生向けの問題集なので違うと思うのですが・・・
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/
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■43769
/ inTopicNo.4)
Re[3]: 積分計算
▲
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■
□投稿者/ X
付き人(72回)-(2011/06/03(Fri) 09:23:49)
2011/06/03(Fri) 09:50:42 編集(投稿者)
ではbadさんの説明に補足する形で。
例えば
∫[0→1]dx/(x^2+1) (A)
を計算するときは
x=tanθ
と置き換えると計算できますよね?
そこで問題の積分を(A)に似たような形に持って行きます。
∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3
=∫[0→1]dx/{(x+1/2)^2+3/4}^3
={(4/3)^3}∫[0→1]dx/{{(2/√3)(x+1/2)}^2+1}^3 (B)
ここで
(2/√3)(x+1/2)=t (C)
と置くと
∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3
={(4/3)^3}∫[1/√3→√3]dt/(t^2+1)^3
で更に
t=tanθ
と置くと…。
というような方針が続きます。
ここでの(C)が質問にあげられた
>>x=(√3/2)t-1/2
に当たります。((C)をxについて解いてみましょう)
つまりこれは公式でもなんでもなく、(A)の計算の方針に習った方針を使うための
前段階の変換に過ぎません。
重要なのは(B)のように分母を平方完成の形に持っていことで、別に(C)のような
変換を使わなくても(B)からいきなり
(2/√3)(x+1/2)=tanθ
と置き換えても問題ありません。
引用返信
/
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■43773
/ inTopicNo.5)
Re[3]: 積分計算
▲
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■
□投稿者/ bad
一般人(2回)-(2011/06/03(Fri) 15:34:40)
2011/06/03(Fri) 15:38:03 編集(投稿者)
■
No43768
に返信(mittiさんの記事)
> ■
No43763
に返信(badさんの記事)
> 高校生向けの問題集なので違うと思うのですが・・・
残念ながら, 違いません. 定積分なら
で置換したものを元に戻さないで済むので, 見かけ上
に触れていないように感じるだけです.
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/
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■43774
/ inTopicNo.6)
Re[4]: 積分計算
▲
▼
■
□投稿者/ mitti
一般人(8回)-(2011/06/03(Fri) 21:51:56)
■
No43769
に返信(Xさんの記事)
> 2011/06/03(Fri) 09:50:42 編集(投稿者)
>
> ではbadさんの説明に補足する形で。
>
> 例えば
> ∫[0→1]dx/(x^2+1) (A)
> を計算するときは
> x=tanθ
> と置き換えると計算できますよね?
> そこで問題の積分を(A)に似たような形に持って行きます。
> ∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3
> =∫[0→1]dx/{(x+1/2)^2+3/4}^3
> ={(4/3)^3}∫[0→1]dx/{{(2/√3)(x+1/2)}^2+1}^3 (B)
> ここで
> (2/√3)(x+1/2)=t (C)
> と置くと
> ∫[0→1]dx/(x^2+x+1)^3
> ={(4/3)^3}∫[1/√3→√3]dt/(t^2+1)^3
> で更に
> t=tanθ
> と置くと…。
> というような方針が続きます。
>
> ここでの(C)が質問にあげられた
> >>x=(√3/2)t-1/2
> に当たります。((C)をxについて解いてみましょう)
> つまりこれは公式でもなんでもなく、(A)の計算の方針に習った方針を使うための
> 前段階の変換に過ぎません。
> 重要なのは(B)のように分母を平方完成の形に持っていことで、別に(C)のような
> 変換を使わなくても(B)からいきなり
> (2/√3)(x+1/2)=tanθ
> と置き換えても問題ありません。
ありがとうございました。解決です!
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