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■22880 / inTopicNo.1)

　絶対値を含む不等式の証明（数学Ⅱ）

□投稿者/ そばわんこ一般人(15回)-(2007/03/14(Wed) 07:09:01)

$2$|a+b|\leq |a|+|b|$ である事を利用して、 $2$|a|-|b|\leq |a-b|$ である事を示せ。

答えを見ると、一番初めに、「 $2$|a+b|\leq |a|+|b|$ の $2$a$ に $2$a-b$ を代入すると、」と書かれていますが、
なぜaにa-bを入れることによって証明出来るのかが分かりません。

申し訳ありませんが、この証明法についての解説お願いします。

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■22884 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 絶対値を含む不等式の証明（数学Ⅱ）

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1118回)-(2007/03/14(Wed) 09:07:44)

■No22880に返信(そばわんこさんの記事)
> $2$|a+b|\leq |a|+|b|$ である事を利用して、 $2$|a|-|b|\leq |a-b|$ である事を示せ。
>
>
> 答えを見ると、一番初めに、「 $2$|a+b|\leq |a|+|b|$ の $2$a$ に $2$a-b$ を代入すると、」と書かれていますが、
> なぜaにa-bを入れることによって証明出来るのかが分かりません。

a のところを a-b と書き換えれば求める不等式が作れます。

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■22890 / inTopicNo.3)

▲▼■

□投稿者/ そばわんこ一般人(16回)-(2007/03/14(Wed) 14:00:14)

返事ありがとうございます

何故aをa-bに置き換えるのですか？？

a＝a-bとするなんて仮定も書かれてないですよね？

(携帯)

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■22892 / inTopicNo.4)

　Re[2]: RE

▲▼■

□投稿者/ けにい一般人(43回)-(2007/03/14(Wed) 14:19:02)

二つの不等式で、同じ a, b が使われているので混乱したのでは？
もし |x + y| ≦ |x| + |y| を用いて |a| - |b| ≦ |a - b| を
証明せよ、なら x = a - b, y = b と置くのは納得いきませんか？
結局、最初の不等式が「任意」の a, b に対して成立するので
「置き換える」という議論がまかり通るのです。

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■22934 / inTopicNo.5)

　うーん

▲▼■

□投稿者/ そばわんこ一般人(19回)-(2007/03/15(Thu) 06:58:29)

2007/03/15(Thu) 07:01:32 編集(投稿者)

丁寧な返信有難うございます。

分かった様な分からない様な、まだモヤモヤですね。
教師に聞いても分かりませんでした(^_^;)

何故x＝a-b、y＝bが出てくるのでしょうか？

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■22935 / inTopicNo.6)

　Re[4]: うーん

▲▼■

□投稿者/ せら。一般人(1回)-(2007/03/15(Thu) 10:23:03)

目標は
|a| - |b| ≦ |a - b|
使えるのは
|x + y| ≦ |x| + |y|
です。
|x + y| ≦ |x| + |y|を使って何とか|a| - |b| ≦ |a - b| を作ろう、ということです。
使える式は「絶対値と《絶対値の和》の不等式」で、目標は「《絶対値の差》と絶対値の不等式」なので、ちょっと形が違います。形がそろっていたほうが使いやすいですね。どちらでもいいですが、たとえば目標の式のほうを
|a| ≦ |a - b| + |b|
と移項して「絶対値と《絶対値の和》の不等式」にします。
さて、ここで
|a| ≦ |a - b| + |b| 　と　 |x + y| ≦ |x| + |y|
を見比べてみましょう。
右辺を先に見てみると
x=a-b、y=b
となっていそうな感じがします（まだ確定ではないです）。
じゃぁ、左辺は？代入してみると
x+y=(a-b)+b=a
となっていて、うまくいきそうです。

こんな感じで、最初は結構きちんと逆算して考えていくことになるでしょうね。
やっていくうちに慣れてくるものかもしれませんね。

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■22936 / inTopicNo.7)

　契ｰ

▲▼■

□投稿者/ そばわんこ一般人(20回)-(2007/03/15(Thu) 12:41:51)

丁寧な返事有難うございます。
お陰で分かりました!!

成程、移行したら確かに似たような形になりますね。
参考書の解説は何故aをa-bと置くのか省いていたのでこんがらがりました。
本当に有難うございます。

(携帯)

解決済み!

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