| 2007/04/16(Mon) 11:21:07 編集(投稿者)
A(x)の成分値がすべて自然数なら、x∈N。x=1の時は自明なので、 x>1とします。 問題(1)より、 yが存在して、A(x)B^(-1)=A(y) B^(-1)は成分が全て整数の行列です。またA(x)が全て自然数なので、 A(y)の成分も全て整数。問題(1)より、0<yなので、y∈Nでなければなりません。 またy<xより、y≦x-1。 よってx∈Nに対し、A(x)=A(y)B, y∈N y≦x-1 を満たすyが存在することが示せました。
これを繰り返すと、あるn∈Nが存在して、 A(x)=A(1)B^(n-1)=B^n よってA(x)=B^nなるnが存在します。
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