![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | ouoさん,こんばんわ.
> お願いします。 > > 半径aの2つの直円柱の軸が角αでまじわるときの共通部分の体積を求めよ。
座標空間を設定して考えてみましょう. すると,一方の直円柱 の周および内部を表す不等式は,
……@ です.次に,この円柱を 軸の周りに だけ回転して得られる直円柱 の周および内部を表す不等式を求めてみます.すると, 上の任意の点 を 軸の周りに回転して得られる点を とすれば,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
X%20=%20x%5ccos%20%20%5calpha-y%5csin%20%20%5calpha%20%5c%5c
Y%20=%20x%5csin%20%20%5calpha+y%5ccos%20%20%5calpha%20%5c%5c
Z%20=%20z
%5cend{array}
%5cright.%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow
%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
x%20=%20X%5ccos%20%20%5calpha+Y%5csin%20%20%5calpha%20%5c%5c
y%20=%20-X%5csin%20%20%5calpha+Y%5ccos%20%20%5calpha%20%5c%5c
z%20=%20Z
%5cend{array}
%5cright.
) ですから,これを の関係式に代入して,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
(X%5ccos%20%20%5calpha+Y%5csin%20%20%5calpha)^{2}+Z^{2}%5cleq%20a^{2}%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20X^{2}%5ccos%20%20^{2}%5calpha+2XY%5ccos%20%20%5calpha%5csin%20%20%5calpha+Y^{2}%5csin%20%20^{2}%5calpha+Z^{2}%5cleq%20a^{2}
) よって, の周および内部を表す不等式は,
……A
あとは の共通部分の体積を求めるために,@Aを平面 で切った時の切り口の関係式を考えます.すると,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
x^{2}+t^{2}%5cleq%20a^{2}%20%5c%5c
x^{2}%5ccos%20%20^{2}%5calpha+y^{2}%5csin%20%20^{2}%5calpha+2xy%5ccos%20%20%5calpha%5csin%20%20%5calpha+t^{2}%5cleq%20a^{2}
%5cend{array}
%5cright.%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow
%5cleft%5c{
%5cbegin{array}{l}
-%5csqrt{a^{2}-t^{2}}%5cleq%20x%5cleq%20%5csqrt{a^{2}-t^{2}}%20%5c%5c
x^{2}%5ccos%20%20^{2}%5calpha+y^{2}%5csin%20%20^{2}%5calpha+2xy%5ccos%20%20%5calpha%5csin%20%20%5calpha%5cleq%20a^{2}-t^{2}
%5cend{array}
%5cright.
)
ここまで来れば,上記不等式で表される領域の面積 を求めて,それを 〜 まで積分すればよいかと思いますが,面積 がちゃんと積分できるかどうかは未だやってないので,分かりません.
※とりあえず,方針としては以上のようになります.
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