![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/rob6.gif) | 2006/03/30(Thu) 18:18:32 編集(投稿者)
>>まずはステップとして。 >>1) は等差数列ですが,初項と公差は分かりますか? >>2) は等比数列ですが,初項と公比はわかりますか? >>3) はどんな数列になりますか? >>ここまでが数列の知識として前提となるものです。もうひとつ。 >>4) を求めよ,という問題はできますか?または,やったことがありますか? >>どこから解説したらいいのか,ということもありますので,ここらへんを考えて返信していただけますか? > > > > 返信遅れてすいません・・!!初項、公差、公比はわかります♪{a2n}は一般項のnに2nを代入して4n+1ですか? OK。この数列も等差数列ですね。
> あと(4)番のやつはやったことないんですけど、 > n n > T=Σak*Σbk=2*(1/2)*n(n+1)+n+2*(2^n−1)=n^2+2n+2・2n−2 > k=nk=n > となったんですけどどうなんでしょぉか・・??
残念。
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5csum_{k=1}^n%20a_k%20b_k%20=a_1%20b_1%20+%20a_2%20b_2%20+%20%5ccdots%20+%20a_n%20b_n%20%5c%5c
(%20%5csum_{k=1}^n%20a_k)(%5csum_{k=1}^n%20b_k)%20=%20(a_1%20+%20a_2%20+%20%5ccdots%20+%20a_n)(b_1%20+%20b_2%20+%20%5ccdots%20+%20b_n)
) です。上と下の式は別のもの(というか,下のほうがだいぶ大きい)ですよね。一般に,和の記号を(積において)勝手に分けてはいけません。
では,どうやって求めるか,に行きましょう。まずは(4)で見た の和を求めることを考えましょう。本題も, が等差だと分かっているので,要領は同じです。
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$S_n%20=%20%5csum_{k=1}^n%20a_k%20b_k) と置きます。今のところ
…* ですが、これはこのままだと求められません。何とかして,等差だけ,等比だけの式にして公式を使いたいわけですが,ここでは
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$b_{n+1}%20=%202%20b_n) という等比数列の性質を使います。どうやるかというと、 を2倍(公比倍)します。すると
…** となりますね。ここで, を計算してみると,*と**の差を取るので
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5c%202S_n%20-%20S_n%20%5c%5c
=%20(a_1%20b_1%20+%20a_2%20b_2%20+%20%5ccdots%20+%20a_n%20b_n)-(a_1%20b_2%20+%20a_2%20b_3%20+%20%5ccdots%20+%20a_n%20b_{n+1})%20%5c%5c
=%20a_1%20b_1%20+%20(a_2%20-%20a_1)b_2%20+%20(a_3%20-a_2)b_3%20+%20%5ccdots%20+%20(a_n%20-%20a_{n-1})b_n%20-%20a_n%20b_{n+1}) となります(項を並べて計算してみてください。上下に2つの式を,b_kのところが上下でそろうように並べて筆算してみると分かりやすいかも) さて, とか とかは,全部 の公差になってますよね。公差は2ですから
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$%5c%202S_n%20-%20S_n%20%5c%5c
=%20a_1%20b_1%20+%202b_2%20+%202b_3%20+%20%5ccdots%20+%202b_n%20-%20a_n%20b_{n+1}) となりました。 最初と最後の項をのぞけば, の部分は等比数列の和の公式で計算できますよね。最初と最後の項は後で足し引きしてあげればいいです。
「等差×等比」になっている数列の和はこんな風に計算するとうまくいくことが多いです。本題も,ほとんど同じようにすればできるはずです。
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