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■10068 / inTopicNo.1)  中間値の定理
  
□投稿者/ まさ 一般人(1回)-(2006/03/13(Mon) 21:01:43)
    ある長距離の選手は、6qのコースを18分で走る。
    この選手はコースの、ある連続する1qの区間をちょうど3分で走り抜ける
    ことを示してください。
    お願いします。
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■10083 / inTopicNo.2)  自信ありませんが・・・
□投稿者/ リストっち ベテラン(232回)-(2006/03/14(Tue) 01:32:18)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/
    x〜x+1(km)走るのに要する時間をf(x)で表す.0≦x≦5
    すると,f(x)は連続な関数である.・・・※
    f(0)=3またはf(5)=3ならば話は終わってしまうので,
    f(0)≠3かつf(5)≠3の場合を考える.
     f(0)>3かつf(5)>3とすると,どの区間も,3分より多くかかったことになる.
    ということは,0〜1km,1〜2km,2〜3km,3〜4km,4〜5km,5〜6kmにおいてもすべて3分より多くかかることになるので,全体としては必ず18分をオーバーしてしまうので矛盾.
     f(0)<3かつf(5)<3とすると,どの区間も,3分より少なくかかったことになる.
    ということは,0〜1km,1〜2km,2〜3km,3〜4km,4〜5km,5〜6kmにおいてもすべて3分より少なくかかることになるので,全体としては必ず18分より少なくなってしまうので矛盾.
     よって,実際は,{f(0)-3}{f(5)-3}<0.
     つまり,0≦x≦5の範囲で少なくとも一点で,y=f(x)とy=3は交わる.そのx座標をtとすると,t〜t+1(km)における区間で3分で走ることになる.■

     といった感じだと思いますが,※の部分の証明が自分もよくわかりません.すみません.
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■10085 / inTopicNo.3)  Re[2]: 自信ありませんが・・・
□投稿者/ らすかる 大御所(306回)-(2006/03/14(Tue) 02:39:12)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    f(0)>3かつf(5)>3でも、f(2)<3とかf(3)<3で
    ちょうど18分ということがあり得るのでは?
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■10111 / inTopicNo.4)  Re[3]: 自信ありませんが・・・
□投稿者/ リストっち ベテラン(234回)-(2006/03/14(Tue) 19:00:34)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/
    2006/03/14(Tue) 19:01:24 編集(投稿者)

    No10085に返信(らすかるさんの記事)
    > f(0)>3かつf(5)>3でも、f(2)<3とかf(3)<3で
    > ちょうど18分ということがあり得るのでは?
     あ,表現が非常におかしかったです.自分のイメージと内容が全く合致していませんでした.
     書き方が非常に悪かったようです.書き直させていただきます.

    f(x)の定義については,上に同じ.
    0≦x≦5で常にf(x)>3だとすると, 
    0〜1km,1〜2km,2〜3km,3〜4km,4〜5km,5〜6kmにおいてもすべて3分より多くかかることになるので,全体としては必ず18分をオーバーしてしまうので矛盾.
    0≦x≦5で常にf(x)<3だとすると,
    0〜1km,1〜2km,2〜3km,3〜4km,4〜5km,5〜6kmにおいてもすべて3分より少なくかかることになるので,全体としては必ず18分より少なくなってしまうので矛盾.
    よって,このy=f(x)のグラフは,0≦x≦5で少なくとも1つf(x)≧3を満たすx,f(x)≦3を満たすxが存在する.そのxをそれぞれα,βとする.また,ここで,f(α)=3あるいはf(β)=3が成り立っているときはそのとき議論は終了する.そこで,f(α)≠3かつf(β)≠3の場合を考える.このとき,f(α)>3かつf(β)<3となるのでα≠β.
    [i]α>βのとき
    {f(α)-3}{f(β)-3}<0
    よって,β<x<αに少なくとも1つf(x)=3を満たす点が存在.
    [ii]β>αのとき
    {f(α)-3}{f(β)-3}<0
    よって,α<x<βに少なくとも1つf(x)=3を満たす点が存在.

    ただ,f(x)の連続性についてはよくわかりません・・・.

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■10115 / inTopicNo.5)  Re[4]: 自信ありませんが・・・
□投稿者/ らすかる 大御所(311回)-(2006/03/14(Tue) 20:05:53)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp
    No10111に返信(リストっちさんの記事)

    > ただ,f(x)の連続性についてはよくわかりません・・・.

    連続性(=立ち止まらないこと)は問題で仮定されていると考えないとダメですね。
    例えば、最初の3kmを1分で走り、そこで16分間休憩してから残りの3kmを1分で走ると、
    どこの1kmをとっても3分にはならないと思います。
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■10132 / inTopicNo.6)  Re[5]: 自信ありませんが・・・
□投稿者/ リストっち ベテラン(235回)-(2006/03/15(Wed) 01:03:56)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/
    No10115に返信(らすかるさんの記事)
    > ■No10111に返信(リストっちさんの記事)
    >
    >>ただ,f(x)の連続性についてはよくわかりません・・・.
    >
    > 連続性(=立ち止まらないこと)は問題で仮定されていると考えないとダメですね。
    > 例えば、最初の3kmを1分で走り、そこで16分間休憩してから残りの3kmを1分で走ると、
    > どこの1kmをとっても3分にはならないと思います。

    なるほど,そうですね.そのへん悩んでいたのですが,途切れてもよかったら反例はいくつでも作れるわけで,中間値の定理も使えませんし.仮定としてないとおかしいですね.

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