| 2008/09/30(Tue) 20:26:55 編集(投稿者)
■No36017に返信(tomokoさんの記事) > 教えてください。 > 方程式y=-x^2+a_n x+b_nで定義された放物線C_nの頂点のx軸からの高さは(10)/(2^n), x軸との交点のx座標はα_{2n}, α_{2n+1}(α_{2n}<α_{2n+1})である。α_0=0,α_{2n-1}=α_{2n}であるとき,lim{n→∞}α_nを求めよ。 > ちなみに答えは,4√5(√2+1)です。
C[n]:y=-x^2+a[n]x+b[n]=-(x-1/2・a[n])^2+1/4・a[n]^2+b[n] より 1/4・a[n]^2+b[n]=10/(2^n)…@ 解と係数の関係 α[2n]+α[2n+1]=a[n]…A α[2n]・α[2n+1]=-b[n]…B を@に代入して α[2n+1]-α[2n]=2√10・(1/√2)^n 漸化式 α[2n-1]=α[2n] から α[2n+1]-α[2n-1]=2√10・(1/√2)^n α[2n-1]-α[2n-3]=2√10・(1/√2)^(n-1) … α[3]-α[1]=2√10・(1/√2)^1 辺々加えて α[2n+1]-α[1]=2√10・Σ[k=1,n](1/√2)^k…C ここで、C[0]が(0,0)を通ることより b[0]=0、a[0]=α[1] で @から a[0]=2√10=α[1] よってCより α[2n+1]=2√10・{ 1+Σ[k=1,n](1/√2)^k }
漸化式 α[2n-1]=α[2n] から lim[n→∞]α[2n]=lim[n→∞]α[2n+1] すなわち lim[n→∞]α[n]=lim[n→∞]α[2n+1]=2√10・{ 1+(1/√2)/(1-1/√2) }=4√5(√2+1)
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