出題校：センター試験　
2003年度　本試験　数学ＩＩ・数学B　解答

問題1，問題2，問題3，問題4，問題5，問題6

第1問　（必須問題）　（配点　30）[top]

[1]

 

(1)

一般に A ， B  を定数とするとき， x≧0  を満たす
すべての x  に対して， x  の1次不等
式  Ax+B>0  が成り立つ条件は

A≧ア 　かつ　 B≧イ

である。

　

(2)

  x≧0  を満たすすべての x  に対して，不等式

( x+1 ) sin 2 α+( 2x−1 )sinαcosα−x cos 2 α>0  ・・・・・・

が成り立つような α  の値の範囲を求めう。ただし， 0°≦α≦180° とする。

x≧0  を満たすすべての x  に対して， が成り立つ条件は

sinウ α≧cosエ α

かつ

sin オ α>sinαcosα

が成り立つことである。これより，求める α  の値の範囲は

カキ °<α≦ クケコ ° サ

である。

[2]

　

正の整数 x  に対して

a= log 3 x− 7 2 ， b= log 3 x− 5 2 ， c= log 9 x− 5 2 d= log 9 x− 3 2

とおく

(1)

  d=0  となるような x  の値は x=シス  である。

(2)

  abcd>0  となるような x  の値の範囲を求めよう。 a ， b ， c ， d  のすべてが負の場合には　

0<x<セ ソ

となる。 a ， b ， c ， d  のうち二つが正で残りの二つが負の場合には

タチ <x<ツテ ト

となる。さらに， a ， b ， c ， d  の全てが正の場合には

ナニヌ <x

となる。

第2問　（必答問題）　（配点　40）[top]

関数 f( x )  は

x≦3 のとき	f( x )=x
x>3  のとき	f( x )=−3x+12

で与えられている。このとき， x≧0  に対して，関数 g( x )  を

g( x )= ∫ 0 x f( t )dt

と定める。

(1)

  0≦x≤3  のとき

g( x )= ア イ x ウ

であり， x≧3  のとき

g( x )=− 3 2 x 2 +エオ x−カキ

である。

(2)

曲線 y=g( x )  を C  とする。 C  上の点P ( a,g( a ) )  （ただし， 0<a<3 ）における C  の接線 ℓ  の傾きは ク  であるから， ℓ  の方程式は

y=ク x− ケ コ a 2

である。

(3)

  ℓ  と x  軸の交点をQとするとQの座標は

( サ シ a,0 )

であり， ℓ  と C  のP以外の交点をRとするとRの座標は

( ス −a,セ a− ソ タ a 2 )

である。

(4)

Rから x  軸に垂線を引き， x  軸と交わる点をHとするとき，三角形QRHの面積は

S= チ ツ a 3 −テ a 2 +トナ a

である。 S  は a= ニ ヌ  のとき最大値をとる。

　

第3問　（選択問題）　（配点　20）[top]

　一辺の長さが1の，図のような立方体 ABCD−A ′ B ′ C ′ D ′  において， AB ， C C ′ ， D ′ A ′  を a:( 1−a )  に内分する点をそれぞれP，Q，Rとし， AB ⟶ = x → ， AD ⟶ = y → ， AA ′ ⟶ = z →  とおく。ただし， 0<a<1  とする。

(1)

  PQ ⟶ ， PR ⟶  を x → ， y → ， z →  を用いてあらわすと

PQ ⟶ =( ア −イ ) x → + y → +ウ z → PR ⟶ =エオ x → +( 1−a ) y → + z →

となる。したがって

| PQ ⟶ |=| PR ⟶ |=1:カ | PQ ⟶ | 2 =キ ( a 2 −a+ク ) PQ ⟶ · PR ⟶ = a 2 −a+ケ

であるから， PQ ⟶ ， PR ⟶  のなす角は  コサ °  である。

(2)

三角形PQRの重心をGとすると

DG ⟶ = シ +ス セ ( x → − y → + z → )

である。 ( シ とス は解答の順序を問わない。 )

　いま，辺 C ′ D ′  上に SQ=SR  となるように点Sをとる。このとき， C ′ S ⟶ =ソ C ′ D ′ ⟶  となり

SD ⟶ =( タ −チ ) x → − z →

である。

(3)

  SD ⟶ ， SD ⟶  が垂直であるとき， a  の値は  ツ テ  であり， ∠QSR=トナニ °  となる。

第4問　（選択問題）　（配点　２０）[top]

複素平面で

z 0 =( 3 +i )( cosθ+isinθ ) z 1 = 4{ ( 1−sinθ )+i( cosθ ) } ( 1−sinθ )−icosθ z 2 =− 2 z 1

の表す点をそれぞれ P 0 ， P 1 ， P 2  とする。ただし， 0°<θ<90°  とする。また， argz  は複素数 x  の偏角を表すものとし，偏角は −180° 以上 180° 未満とする。

(1)

  | z 0 |=ア ， arg z 0 =イウ °+θ  である。

(2)

  z 1  の分母と分子に ( 1−sinθ )+icosθ  をかけて計算すると

z 1 =w ( −sinθ+icosθ )

となる。よって， | z 1 |=ア ， arg z 1 =イウ °+θ  である。

(3)

  | z 1 z 0 |=ク ， arg z 1 z 0 =ケコ °
であるから， P 0 P 1 =サ シ  である。

(4)

 原点O， P 0 ， P 1 ， P 2  の4点が同一円周上にある場合を考える。このとき ∠ OP 2 P 1  を考えると

arg z 1 − z 2 − z 2 =−スセ °

であるから

ソ cos2θ−タ =0

が成り立つ。よって

sinθ= チ ツ

となる。

第5問　（選択問題）　（配点　20）　[top]

　1から8までの整数のいずれか一つが書かれたカードが，各数に対して1枚ずつ合計8枚ある。Dさんがカードを引いて，賞金を得るゲームをする。その規則は次のとおりである。
　100円のゲーム代を払って，カードを1枚引き，書いてある数が X  のとき， pX+q  円を受け取る。ここで， p ， q  は正の整数とする。

(1)

確率変数 X  の平均（期待値）は  ア イ  であり，分散は  ウエ オ  である。

(2)

Dさんがカードを1枚引いて受け取る金額からゲーム代を差し引いた金額を Y  円とする。確率変数 Y  の平均値を N  とするとき，Nを p ， q  を用いて表すと

N= カ キ p+q−クケコ

である。

(3)

  N=0 を満たすを p ， q  の値の組の総数は ア  である。その中で， p  の最小値は ア ，最大値は ア  である。

(4)

  Y  の分散は  タチ ツ p 2  である。したがって， N=0  のとき Y  の分散の最小値 C  は， p=テ  のとき起こり， C=トナ  である。

第6問　（選択問題）　（配点　20）　[top]

　座標平面上に三つの点P ( 2,0 ) ，Q ( 2,0 ) ，R ( 8,a )  がある。点S ( x,y )  の座標と a  を入力し，P，Q，Rのうちで，Sに最も近い点とその点までの距離の2乗を出力するプログラムを以下のように作った。ただし， x ， y ， a  は整数を入力するものとする。

プログラム1　

100		INPUT "x , y" ; X , Y
110		INPUT "a=" ; A
120		P=(X-2)*(X-2)+Y*Y
130		Q=(X-9)*(X-9)+(Y-7)*(Y-7)
140		R=(X-8)*(X-8)+(Y-A)*(Y-A)
150		D=P
160		E=Q
170		F=R
180		IF D<E THEN ア
190		IF E<F THEN イ
200		PRINT "距離の2乗は" ; ア
210		PRINT "その点は"
220		IF ウ =P THEN PRINT "点P"
230		IF ウ =Q THEN PRINT "点Q"
240		IF ウ =R THEN PRINT "点R"
250		END

(1)

 ア ，イ  は，それぞれ「DとEの値を入れかえる」と「EとFの値を入れかえる」ということを意味する。それぞれに当てはまるものを，次の 〜のうちから一つずつ選べ。

G=D : D=E : E=G	D=E:  G=D : E=G	G=D : E=G : D=E
G=E : E=F : E=G	E=F : G=E : F=G	G=E : F=G:  E=F

(2)

 ウ  に入る文字を，次の 〜のうちから一つ選べ。

  P   Q      R      D       E       F      G

(3)

 プログラム1を実行してx， y=? に対し5，4を入力した。そのあと a  を入力して，3点P，Q，Rすべてが出力されるなめには a  として エ  またはオ  を入力しなけらばならない。

(4)

 プログラム1と同じ出力を得るために150〜190行を次の4行で置き換えた。

150		M=P
160		IF Q<M THEN カ
170		IF R<M THEN キ
180		ウ =M

プログラム中の ア ，ア  に当てはまるものを，次の 〜のうちから一つずつ選べ。

  Q=M      M=Q      M=R      R=M

(5)

 プログラム1を変更して，距離の2乗の最大値とその点を出力するプログラムにするには， ア  だけでよい。ア  に当てはまるものを，次の 〜のうちから一つ選べ。

	180行目と190行目を入れかえる
	ウ  の文字のみをいれかえる。
	180，190行のIF文の中の不等式をそれぞれD>E，E>Fに変更する
	180，190行のIF文の中の不等式をそれぞれD>E，E>Fに変更し，さらに，180行目と190行目を入れかえる

(6)

 プログラム1を変更して，最小値と最大値の両方を出力するようにするために，まず，180行と190行の前後にそれぞれ1行追加し，

175		FOR K=1 TO ケ
180		IF D<E THEN ア
190		IF E<F THEN イ
195		NEXT K

とする。これで，最小値は コ  に，最大値は サ  に代入されることになる。あとは点を出力する200行以降の部分を修正するだけでよい。
　ケ  には，180行と190行をくり返す回数のうちで，題意に適する最小のものを答よ。また，コ ，サ  に当てはまるものを，(2)の選択肢からのうちから一つずつ選べ。