出題校：センター試験　2001年度　追試験　数学I・数学A　解答

第1問　（必須問題）　（配点　40）

[1]

  a を実数， b を 3 b 2 −8b−3≠0  となる実数とする。また，2次関数

y=−2 x 2 −4x+a y=( 3 b 2 −8b−3 ) x 2 +5

の表す放物線をそれぞれ C 1 ， C 2 とする。

(1)

C 1 の頂点は ( アイ ,a+ウ ) である。

(2)

  C 1 が x  軸と2点A，Bで交わるような b の範囲は

エオ カ <b<キ           ・・・・・・

である。

　また， b が  の範囲内の整数であるとき，線分ABの長さが最小になるのは b=ク のときで，このとき線分ABの長さは ケコ 2 である。

(3)

  C 1 が x の頂点が C 2 が x 上にあるとする。このとき，

a=サ b 2 −シ b

が成り立つ。

　さらに， C 1 を x  軸方向に  ス  だけ平行移動すると，再び頂点は C 2 上にある。ただし， ス  には0でない数を入れよ。

[2]

A，B，C，Dの文字が一つずつ書いてある4枚のカードが箱に入ってい 　　る。この箱から1枚のカードを取り出してもとに戻す。この試行を4回くり 　　返し，以下のように得点を定める。

(a)

　文字Aの書かれたカードを引いた回数が1回ならば1点。

(b)

　文字Aの書かれたカードを引いた回数が2回ならば2点。

(ｃ)

　その他の場合，．すなわち，文字Aの書かれたカードを引いた回数が 　0回，3回または4回のときは0点。

(1)

　A，B，C，Dの文字のカードがすべて現れる確率は  セ ソタ  である。

(2)

　得点が1点である確率は  チツ テト  である。

(3)

　得点が0点である確率は  ナニ ヌネノ  である。

(4)

得点の期待値は  ハヒ フヘ  である。

第2問　（必答問題）　（配点　40）

[1]

　 a を正の実数， b を実数とする。 x  の整式 P ， Q を

P=2 x 3 +( a+2 ) x 2 +( 3a+2 )x+a+ 1 a Q= x 2 +x+b

とおく。 F を Q で割ったときの余り R を Ax+B とすると

A=ア a−2b+イ B=−ab+a+ ウ a

である。

(1)

　 b=0 とする。 x= 3 2 とすると， a= エ オ  のとき最小値 < カ  をとる。

(2)

　次の文章中の  キ ， ク ， ケ  に下の 〜 のうちから当てはまるものを選ベ。

a=1 のとき・ A>0  は B>0  が成り立っための  キ 。

a=2 のとき， A>0  は B>0   が成り立っための  ク 。

a= 1 2 のとき， A>0  は B>0  が成り立っための  ケ 。

必要十分条件である

必要条件であるが十分条件ではない

十分条件であるが必要条件ではない

必要条件でも十分条件でもない

[2]

　半径の円Oに内接する四角形ABCDは

AB=AD= 3 ， cos∠BAD=− 1 3 ， cos∠ABC= 3 3

を満たす。このとき

BD=コ サ ,R= シ ス sin∠ABC= セ ソ ,AC= タ CD=チ

である。

第3問　（選択問題）　（配点　20）

p を0でない実数とシ，数列 { a n }  の初項から第 n 項までの和 S n が，

S n =p n 2 −pn+p+3

で表される。このとき，

a 1 =p+ア ， a 2 =イ p ， a 2 =ウ p

[1]

　 { a n }  が等差数列のとき， p=エオ  であり，

a n =カキ n+ク

となる。さらに，

∑ k=1 10 ( k+1 ) a k = ケコサシス

である。

[2]

　 { b n }  を公比  r  の等比数列とし，

b 1 = a 1 ， b 2 =−2 a 2 ， b 3 =3 a 3

とする。このとき，

ｒ=セソ ， p=タ

である。また，

∑ k=1 n b k >900

となる  n  のうちで最小のものは  チ  である。

第4問　（選択問題）　（配点　２０）

　三角形ABCの辺BCの中点をD，∠Aの二等分線と辺BCの交点をEとす る。CA＜ABで，三角形ADEの外接円と辺CA，ABとはそれぞれAと異な る交点F，Gをもつとする。このとき，BG＝CFであることを証明する。
　次べ−ジの文章中の  ア  〜  エ  と  ウ ， エ  については下の  〜 のうちから選択し， オカキ  と  コサシ  には当てはまる文字をA〜G のうちから選べ。ただし，オと牛，コとシは解答の順序を問わない。

a	b	ｃ	a 2	b 2
c 2	ab	bc	ca	a+b
b+c	c+a	2( a+b )	2( b+c )	2( c+a )

[証明] BC＝ a ，CA＝ b ，AB＝ c とする。AEが∠Aの二等分線であるか ら，

BE＝ ア イ ， EC＝ ウ エ

である。また，四角形AGDEは円に内接するから∠EAB＝∠ オカキ  とな り，∠Bが共通だから△EABと△ オカキ  は相似である。したがって，

BG＝ ク ケ

である。同様に，四角形AFEDも円に内接するから∠DAC＝∠ コサシ  で あり，
△DACと△ コサシ  も相似である。よって

　ＣF＝ ク ケ

が成り立ち，BG＝CFが示された。

第5問　（選択問題）　（配点　20）

　100グラム未満のみかんを小玉，100グラム以上のものを大玉と呼ぷことにす る。次のプログラムはみかんを小玉と大玉の2種類に分類して，種類別に袋詰め するとき，袋の中のみかんの種類と総重量を表示するものである。
　一つの袋の中のみかんの総重量が400グラム以上になったら，次の袋に入れ始 める。また，このプログラムを終了させるときには， 　　　　

みかんの重さ＝？

に負の値を入力する。

100		S=0
110		L=0
120		INPUT "みかんの重さ=";X
130		IF X<0 THEN GOTO 250
140		IF X  w  100 THEN GOTO  w
150		S=S+X
160		IF S<400 THEN GOTO  w
170		PRINT "小玉";S;"グラム"
180		S=0
190		GOTO 120
200		L=L+X
210		IF L<400 THEN GOTO 120
220		"大玉";L;"グラム"
230		L=0
240		GOTO 120
250		END

(1)

　 ア ， イ ， ウ  に当てはまるものを，次の 〜 のうちから選びプログラムを完成せよ。

<	>	<=	>=	<>
120	150	170	200	220

最初の10個のみかんの重さが入力順に

80，80，120，90，100，120，140，90，80，100

であるとする。このとき， エ  番目のデータを入力したとき初めて，

オ  玉  カキク  グラム

が出力され，次に  ケ  番目のデータを入力したとき，

コ  玉  サシス  グラム

が出力される。ただし， オ ， コ  には次の ， のうちから当ては まるものを選べ。

小

大

(2)

　小玉の入っている袋については，その中のみかんの個数も表示するようにプログラムを修正したい。そのためには，まず115行と185行としてK=0を追加し，次に  セ  行としてK＝K+1を追加し，さらに  ソ  行として 　　　　　

PRINT "小玉";K;"個"

を追加すればよい。ただし， セ ， ソ  には次の 〜 のうちから当てはまるものを選べ。

135

155

175

195

225