センター試験 2000年度 追試験 数学II,数学B
 入試問題解説 最終更新日 2004年3月31日
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出題校:センター試験 2000年度 追試験 数学II・数学B 解答

第1問 (必須問題) (配点 30)

[1]
 x t  は実数で

log 3 ( x+ 3 t )=2t2

を満たしているとする。

(1)
  x は t  をもちいて

x= · 3 t t

と表される。

(2)
  t=0  のとき, x= オカ  である。
(3)
  x=2· 3 t  のとき, t=  である。
(4)
  x= 9 4  のとき, t=2 log 3  である。
解答
[2]
  a を実数とし,関数

F( x )=asin( x60° )+asin( x+60° )2 sin 2 x

を考える。ただし, 0°x180° とする。

(1)
  F( x )=( sinx )sinx
(2)
  0°x180° で常に  F( x )0  が成り立つような a の最小値は   である。
(3)
  0<a  の場合を考える。
F( x ) は  sinx= a  のとき最大値  m= a  をとる。
また, F( x )  の最小値は   である。
 定数 b を  0<b<m  を満たすようにとるとき, x  に関する方程式  F( x )=b  の解は   個ある。
解答

第2問 (必答問題) (配点 40)

 座標平面上で三つの曲線

C 1 :y= x 2 4x C 2 :y= x 2 +2x C 3 :y=k( x 2 +ax+b )

を考える。ただし, a b k は定数で, k>0  とする。

(1)
  C 1 C 2 の交点Pの座標は  ( , )  である。
(2)
 点Q ( 4,0 )  における  C 1  の接線の方程式は

y= x+

であり点R ( 2,0 )  における  C 2  の接線の方程式は

y=カキ x+

である。

(3)
  C 3  がQ,Rを通るとする。このとき

a=ケコ b=

である。さらに点Qにおける  C 1  の接線と  C 3  の接線が一致するのは

k=

のときである。このとき,第2象限において,曲線  C 1 C 3  および y  軸で囲まれる部分の面積は  セソ  である。

 
解答

第3問 (選択問題) (配点 20)

 各辺の長さが1である正四面体OABCにおいて,線分ABの中点をP,線分OBを 2 : 1 に内分する点をQ,線分OCを 1 :3 に内分する点をRとする。また, OA = a OA = b OA = c とおく。

(1)
 次の内積を計算すると

a · b = b · c = c · a =

である。

(2)
 

PQ = ウエ a + b PR = クケ a + b + c

であるから

PR · PQ= タチ

であり,さらに

| PQ |= | PR |=

を得る。したがって, QPR=θ  とするとき

cosθ= ネノ

となる。

解答

第4問 (選択問題) (配点 20)

 複素平面上で,複素数  α β  を表す点をそれぞれA,Bとする。2点A,Bは原点Oを中心とする半径1の円  C  上にあって

2 αβ 2 α+1+i=0           ・・・・・・

を満たしているとする。このとき, α β  を求めよう。

(1)
  γ= 1 2 ( 1+i )  とするとき,γ  を極形式で表すと

γ=cosアイ °+isinアイ °

となり,γ  を表す点Pも円 C  上にある。

(2)
 等式 を変形すれば, αγ=αβ  となるので

| αγ |=

となる。三角形OAPの形を考えれば,点Aは点Pを原点Oのまわりに ±エオ ° だけ回転して得られる点であることがわかる。

(3)
 したがって,虚部(虚数単位   i  の係数)が負となる α の偏角 θ  は, 180°θ<180° の範囲では θ=カキ °

α= + + i

である。(  は解答の順序を問わない。)
 そのとき β  は

β=1 γ α = i

である。

解答

第5問 (選択問題) (配点 20) 

 1から6までの数のいずれか一つが書かれたカードが,おのおのの数に対して 一枚ずつ,合計6枚ある。これらをよく切った上で,左から右に一列に6枚並べ る。カードに書かれた数を左から順に,和がはじめて11以上となるまで加える。このとき,加えた数の個数と最後に加えた数を,それぞれ確率変数 X Y  とす る。

(1)
  X のとり得る値は   通りである。
(2)
  X=1  となる確率は  ウエ  である。
(3)
  X=x のとき,カードに書かれた数を, 今度は右から順に和がはじめて11 以上となるまで加える。このとき,加えた数の個数は  x  である。
(4)
  X=1  となる確率は  カキ クケ  である。
(5)
 条件 X=3  の下で, Y=1  のなる条件つき確率は サシ  である。
解答

第6問 (選択問題) (配点 20)

  n を3以上の整数とする。 1u<v<wn  を満たすような3個の整数 u v w  の組をすべて求めるため,次のようなプログラムを作った。

100   INPUT "n=";N
110 S=0
120 FOR U=1 TO N-2
130     FOR V= +1 TO N-1
140         W=V+1
150         S=S+1
160         PRINT S;")";U;V;W
170        IF W=N THEN GOTO 190
180         W= +1 : GOTO  150
190     NEXT V
200 NEXT U
210 END

(1)
 上のプログラム中の   に,次の   のうちから適当なものを一つずつ選んでプログラムを完成せよ。

 1          2          *          /          N
 S  U  V  W

(2)
 このプログラムを実行し,n=?に対して4を入力すると,整数の組が  個表示され,3行目,4行目の表示はそれぞれ

1)        
2)        

となる。

(3)
 このプログラムを実行し,n=?に対して6を入力すると,整数の組が  個表示され,その中で  2v=u+w  を満たす整数の組は 個ある。この    個の中で4番目に表示されるのは

     

(4)
 であり,これは  コサ  個の中では  タチ  行目に表示される。
解答
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