任意の正方行列 A  に対して

AE=EA=A

となる行列 E を単位行列という。

2行2列の正方行列の単位行列 E は，

E=( 1 0 0 1 )

3行3列の正方行列の単位行列 E は，

E=( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 )

である。

【単位行列の導出】
2行2列の正方行列の単位行列 E を求める。単位行列の定義 AE=A より，

A=( a b c d ) ， E=( p q r s )  とおくと，　

( a b c d )( p q r s )=( a b c d )

となる。行列の積より，

( ap+br aq+bs cp+dr cq+ds )=( a b c d )

と計算され，行列の各成分を比較することにより，連立方程式

{ ap+br=a aq+bs=b cp+dr=c cq+ds=d

が得られる。この連立方程式を整理すると，

{ a( p−1 )+br=0 ⋯⋯(1) aq+b( s−1 )=0 ⋯⋯(2) c( p−1 )+dr=0 ⋯⋯(3) cq+d( s−1 )=0 ⋯⋯(4)

となる。 (1)×c−(3)×a より，

r( bc−ad )=0

この等式が任意の行列 A で成り立つためには， r=0 でなければならない。(1)に r=0 を代入すると，

a( p−1 )=0

この等式が任意の行列 A で成り立つためには， p=1 でなければならない。

また，。 (2)×d−(4)×b より，

q( ad−bc )=0

この等式が任意の行列 A で成り立つためには， q=0 でなければならない。(2)に q=0 を代入すると，

b( s−1 )=0

この等式が任意の行列 A で成り立つためには， s=1 でなければならない。

以上より，単位行列 E は

E=( 1 0 0 1 )

と導かれる。 EA=A  の場合も同様にして E=( 1 0 0 1 ) を導くことができる。

【用語】
正方行列：行の数と列の数が等しい行列のこと

【関連ページ】
カテゴリー分類>>行列>>単位行列

数学C，行列の公式