整式 F(x) を x−α で割ったときの余りを r とすると

F(α)=r

となる。余りは除数よりも次数が低くなるので， r  は x  を含まない。

言い換えると，整式 F(x) を x−a で割ったときの余りは F(a) と等しくなる。

【解説】
整式 F(x) を x−α で割ったときの商を Q(x) ，余りを r  とすると

F(x)=( x−α )Q(x)+r

と表すことができる。この整式 F(x) の x  に α を代入すると，

F(α)=( α−α )Q(α)+r=r

となり，剰余定理が導かれる。

具体的な例で確かめて見よう，

F(x)=2 x 2 −3x+1 を x−2 で割ったときの商と余りを求めてみる。

         2x     +1
x−2 2 x 2 −3x+1
         2 x 2 −4x           ¯
                   x+1
                   x−2 ¯
                        3 　

2 x 2 −3x+1=( x−2 )( 2x+1 )+3 　

商： Q(x)=2x+1 ，余り： r=3 となりました。

一方， 　

F(2)=2· 2 2 −3·2+1=3 　

となり，剰余の定理通りになっていることが確かめられました。　

【関連ページ】
数学A