剰余定理
 剰余定理 by 数学ナビゲーター 最終更新日 2004年12月21日
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整式 F(x) xα で割ったときの余りを r とすると

F(α)=r

となる。余りは除数よりも次数が低くなるので, r  は x  を含まない。

言い換えると,整式 F(x) xa で割ったときの余り F(a) と等しくなる。

【解説】
整式 F(x) xα で割ったときの商を Q(x) ,余りを r  とすると

F(x)=( xα )Q(x)+r

と表すことができる。この整式 F(x) x  に α を代入すると,

F(α)=( αα )Q(α)+r=r

となり,剰余定理が導かれる。

具体的な例で確かめて見よう,

F(x)=2 x 2 3x+1 x2 で割ったときの商と余りを求めてみる。

         2x     +1
x2 2 x 2 3x+1
         2 x 2 4x           ¯
                   x+1
                   x2 ¯
                        3  

2 x 2 3x+1=( x2 )( 2x+1 )+3  

商: Q(x)=2x+1 ,余り: r=3 となりました。

一方,  

F(2)=2· 2 2 3·2+1=3  

となり,剰余の定理通りになっていることが確かめられました。 

 

【関連ページ】
数学A

 

 
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