楕円： F 1 P+F 2 P=一定の長さ（ここでは2aとおく）  を満たす点Pの軌跡のことを楕円という。そして， F 1 ， F 2  のことを焦点という。

楕円の方程式（標準形）は

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ( a>b>0 )

と表される。

焦点 F 1  の座標は ( −f,0 )=( − a 2 − b 2 ,0 ) ，
焦点 F 2  の座標は ( f,0 )=( a 2 − b 2 ,0 )
長軸の長さ＝ 2a ， 短軸の長さ＝ 2b  となる。

【楕円の方程式の導出】
点Pの座標を ( x,y )  とすと F 1 P+F 2 P=2a  の関係より，

( x+f ) 2 + y 2 + ( x−f ) 2 + y 2 =2a

( x+f ) 2 + y 2 =2a− ( x−f ) 2 + y 2

両辺を2乗して，整理すると，

( x+f ) 2 + y 2 =4 a 2 −4a ( x−f ) 2 + y 2 + ( x−f ) 2 + y 2

a ( x−f ) 2 + y 2 = a 2 −xf

a 2 { ( x−f ) 2 + y 2 }= a 4 −2 a 2 xf+ x 2 f 2

( a 2 − f 2 ) x 2 + a 2 y= a 2 ( a 2 − f 2 )

両辺を a 2 ( a 2 − f 2 ) で割ると，

x 2 a 2 + y 2 a 2 − f 2 =1

b 2 + f 2 = a 2  の関係より，

x 2 a 2 + y 2 b 2 =1

となり，楕円の方程式（基本形）が求まる。

【関連ページ】
数学II，図と方程式