ハミルトンの等式
 ハミルトンの等式 by 数学ナビゲーター 最終更新日 2004年7月19日
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行列 A=( a b c d ) には次に示すハミルトンの等式が成り立つ。

A 2 ( a+d )A+( adbc )E=O

この等式は,行列の次数を下げるのに用いられる。

A 2 =( a+d )A( adbc )E

のように式を変形すると,次数をひとつ下げることができる。

【証明】
A 2 ( a+d )A+( adbc )E = ( a b c d )( a b c d )( a+d )( a b c d )+( adbc )( 1 0 0 1 ) = ( a 2 +bc ab+bd ac+cd bc+ d 2 )( a 2 +ad ab+bd ac+cd ad+ d 2 )+( adbc 0 0 adbc ) = ( bcad 0 0 bcad )+( adbc 0 0 adbc ) = ( 0 0 0 0 ) = O

となり,証明された。 

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