[戻]-52512/ﾚｽ
Re[1]: 無限和
らすかる
-log(1-x)=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+…
から
-xlog(1-x)=x^2+x^3/2+x^4/3+x^5/4+…
a=(-1+i√3)/2
b=(-1-i√3)/2
とおくと
a^1=a, a^2=b, a^3=1, a^4=a, a^5=b, a^6=1, …
b^1=b, b^2=a, b^3=1, b^4=b, b^5=a, b^6=1, …
なので
-alog(1-a)=b+1/2+a/3+b/4+1/5+a/6+b/7+…
-blog(1-b)=a+1/2+b/3+a/4+1/5+b/6+a/7+…
2式の差をとり
{-alog(1-a)+blog(1-b)}
=(b-a)+(a-b)/3+(b-a)/4+(a-b)/6+(b-a)/7+…
=(a-b)(-1+1/3-1/4+1/6-1/7+…)
∴-1+1/3-1/4+1/6-1/7+…={-alog(1-a)+blog(1-b)}/(a-b)
={{(1-i√3)/2}log((3-i√3)/2)-{(1+i√3)/2}log((3+i√3)/2)}/{(-1+i√3)/2-(-1-i√3)/2}
={{(1-i√3)/2}(log3/2-iπ/6)-{(1+i√3)/2}(log3/2+iπ/6)}/(i√3)
={{(1-i√3)/2-(1+i√3)/2}(log3/2)-{(1-i√3)/2+(1+i√3)/2}(iπ/6)}/(i√3)
={-(i√3)(log3/2)-(iπ/6)}/(i√3)
=-log3/2-π/(6√3)
従って
(与式)=3{1-log3/2-π/(6√3)}=3-3log3/2-π/(2√3)
04/24 01:29
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