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ガウス整数の平方和

きんぴら5号

自作問題です。
ラグランジュの四平方定理というのがあり
任意の自然数は4個以下の自然数の平方数の和で表せます。

これをガウス整数に拡張できないかを考えました。
しかし、実整数a,bに対してx=a+biとするとx^2=(a^2-b^2)+(2ab)iとなって
ガウス整数xのIm(x^2)は常に偶数になってしまいます。

つまり、ガウス整数yのIm(y)が奇数ならば
ガウス整数の平方数の和には表せないということになります。

ガウス整数yのIm(y)が偶数ならば
ガウス整数の平方数の有限個の和には表せると言えるでしょうか?

証明または反例の分かる方がいましたら教えてください。
よろしくお願いいたします。

12/01 15:46
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