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Re[1]: 無理関数の積分(大学)

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X

横から失礼します。

別解)
x^2+x+4=(x+1/2)^2+15/4
ここで
(2/√15)(x+1/2)=sinht
と置くと
(与式)=∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)][{{(1/2)(√15)sinht-1/2}^2}/cosht]coshtdt
=(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)](sinht-1/√15)^2dt
=(15/4)∫[-arcsinh(1/√15)→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2-(2/√15)sinht+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(sinht)^2+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-1/2+1/15}dt
=(15/2)∫[0→arcsinh(1/√15)]{(1/2)(cosh2t)-13/30}dt
=(15/2){(1/4)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/30)arcsinh(1/√15)}
=(15/8)sinh{2arcsinh(1/√15)}-(13/4)arcsinh(1/√15)
ここで
sinh{2arcsinh(1/√15)}=2sinhucoshu (u=arcsinh(1/√15)と置いた)
=2(1/√15)√{(1/√15)^2+1}
=8/15
∴(与式)=1-(13/4)arcsinh(1/√15)
(見かけは異なりますが、WIZさんの値と同じです。)

01/07 10:24
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