数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 不等式 / Page: 0]

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■52172 / 親記事)

　不等式

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□投稿者/ モウセンゴケ一般人(1回)-(2023/05/04(Thu) 11:54:32)

nが正の整数、logは自然対数のとき
Σ[k=1→n]1/k < log(2n+1)
の証明を教えて下さい

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■52178 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

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□投稿者/ X 一般人(3回)-(2023/05/06(Sat) 10:18:39)

(i)n=1のとき
1=loge＜log3
により、問題の不等式は成立。
(ii)n=lのとき、問題の不等式の成立を仮定すると
Σ[k=1～l+1]1/k＜log(2l+1)+1/(l+1) (A)
ここで
f(x)=log(2x+3)-log(2x+1)-1/(x+1) (B)
と置くと
f'(x)=2/(2x+3)-2/(2x+1)+1/(x+1)^2
=-4/{(2x+1)(2x+3)}+1/(x+1)^2
={-4(x+1)^2+(2x+1)(2x+3)}/{(2x+1)(2x+3)(x+1)^2}
=-1/{(2x+1)(2x+3)(x+1)^2}
∴
1≦xに対しf'(x)＜0
又
lim[x→∞]f(x)=0
∴1≦xに対しf(x)＞0 (C)
(A)(B)(C)から
Σ[k=1～l+1]1/k＜log(2l+1)+1/(l+1)＜log(2l+3)=log{2(l+1)+1}
∴問題の不等式n=l+1のときも成立。

以上から数学的帰納法により、問題の不等式は成立します。

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■52180 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

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□投稿者/ モウセンゴケ一般人(2回)-(2023/05/07(Sun) 20:35:51)

有難うございます
とても分かりやすく教えていただけて感謝しております

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