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■52163 / 親記事)

　tanの加法定理

□投稿者/ 耄碌じいさん一般人(1回)-(2023/05/01(Mon) 08:01:07)

こんにちは、tanの加法定理で遊んでいる耄碌じいさんです。

さて、質問です。
$2$\cos \alpha=0$ かつ $2$\sin \beta\neq0,\cos \beta\neq0$ という条件下で、以下のようにの分母分子にゼロとわかっている $2$\cos \alpha$ をかけることは正当でしょうか。
$2$\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}=\frac{\sin \alpha+\cos \alpha\tan \beta}{\cos \alpha-\sin \alpha\tan \beta}=\frac{\sin \alpha}{-\sin \alpha\tan \beta}=-\frac{1}{\tan \beta}$

同様に、
$2$\cos \alpha=0$ かつ $2$\cos \beta=0$ という条件下で、以下のように分母分子にゼロとわかっている $2$\cos \alpha\cos \beta$ をかけることは正当でしょうか。
$2$\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}=\frac{\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta}{\cos \alpha\cos \beta-\sin \alpha\sin \beta}=\frac{0}{-\sin \alpha\sin \beta}=0$

どちらも $2$\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha\tan \beta}$ 中の定義域外のtanを解消することが目的です。
加法定理うんぬんより、根本的な数学の理解が足りないかもしれません。ご意見いただけますと幸いです。

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■52164 / ResNo.1)

　Re[1]: tanの加法定理

▲▼■

□投稿者/ X 一般人(2回)-(2023/05/01(Mon) 14:57:25)

ご承知の通り、cosα=0のときはそもそもtanαが定義できませんので
cosαをかける以前に
(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) (A)
が定義できず、式として使うことができません。

(A)は加法定理により
tan(α+β) (B)
で
cosα=0 (C) のとき
α=π/2+nπ(nは整数)
ですので、
tan(α+β)={sin(α+β)}/{cos(α+β)} (D)
={(-1)^n}(cosβ)/{{-(-1)^n}sinβ} (∵)加法定理による
=-1/tanβ (E)
従って(C)のとき(B)を変形するのであれば
面倒でも(D)のように変形するか、
(E)を公式として頭に入れもらうか、どちらかになると思います。

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■52165 / ResNo.2)

　Re[2]: tanの加法定理

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□投稿者/ 耄碌じいさん一般人(2回)-(2023/05/01(Mon) 15:26:17)

納得であります。
ありがとうございました！

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