数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 三角形 / Page: 0]

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■52150 / 親記事)

　三角形

▼■

□投稿者/ △ 一般人(1回)-(2023/04/20(Thu) 03:35:34)

次の条件を満たす正の有理数p,qは存在するのでしょうか？

条件
面積がpで周の長さがqの三角形がただ一つだけ存在する。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■52151 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角形

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□投稿者/ らすかる一般人(11回)-(2023/04/20(Thu) 07:19:09)

存在しません。
まず、周の長さが有理数である正三角形の面積は無理数ですから、
面積も周の長さも有理数である三角形は正三角形ではありません。
そこで、最初に「周の長さがqの正三角形ABC」を考えます。
周の長さが一定のとき、面積が最大になるのは正三角形の場合ですから、
正三角形ABCの面積はpより大きくなります。
BCを(面積がp以下にならないよう)わずかに短くし、その分AB,ACを同量長くして
周の長さが変わらないようにします。するとAB=AC＞BCである二等辺三角形
（周の長さはqで面積はpより大きい）を作ることができます。
そして周の長さが変わらないように、Aを（B,Cを焦点とする楕円周に沿って）
移動すれば面積をpにすることができます。
「BCをわずかに短くする量」は無限通りありますので、
「面積がpで周の長さがqである三角形」も無限通りあることになります。
よって、「ただ一つ」どころか、
「面積がpで周の長さがqの三角形が有限個である」ものすら存在しません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■52158 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角形

▲▼■

□投稿者/ △ 一般人(2回)-(2023/04/22(Sat) 01:58:28)

有難うございました。
とても分かりやすかったです。

解決済み!

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