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■52026 / 親記事)

　ハイパボリックサイン

▼■

□投稿者/ cosh 一般人(1回)-(2022/10/30(Sun) 16:22:42)

sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2とします

a_1=1
a_{n+1}=sinh(a_n)
として数列を定めるとき
lim_{n→∞} a_n=∞
となりますか？

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■52027 / ResNo.1)

　Re[1]: ハイパボリックサイン

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□投稿者/ らすかる一般人(19回)-(2022/10/30(Sun) 20:12:44)

なります。
x≧1のときe^(-x)≦e^x/e^2ですから
e^x-e^(-x)≧e^x-e^x/e^2=e^x(1-e^(-2))≧e^x(1-(√7)^(-2))=(6/7)e^x　(∵√7＜e)
またx≧1のときe^x＞(8/3)xなので
sinh(x)={e^x-e^(-x)}/2≧(3/7)e^x＞(3/7)(8/3)x=(8/7)x
従ってa[n+1]＞(8/7)a[n]なので+∞に発散します。

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■52028 / ResNo.2)

　Re[2]: ハイパボリックサイン

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□投稿者/ cosh 一般人(2回)-(2022/10/31(Mon) 05:22:32)

ありがとうございます
納得しました

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