 | a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
a^3+b^3+c^3=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}+3abc
なので
a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数は
a+b+c,2(ab+bc+ca),3abcの最大公約数と同じ
a+b+c=a+(b+c)
ab+bc+ca=a(b+c)+(bc)だから
aとa+b+cとab+bc+caの最大公約数は
aとb+cとbcの最大公約数と同じ
もしaとb+cとbcの最大公約数が2以上だとすると、
aとb+cとbcはいずれもある素因数pで割り切れる。
bcがpで割り切れるならば、bかcのいずれかはpで割り切れるので
bがpで割り切れるとする。
このとき、b+cがpで割り切れることからcもpで割り切れ、
a,b,cが公約数pを持つことになるので条件に反する。
よってaとb+cとbcの最大公約数は1なので、
aとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1。
同様に、
bとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1
cとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1
となるから、
abcとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1。
よってa+b+cと2(ab+bc+ca)と3abcの最大公約数としてあり得るのは
1,2,3,6。
(∵a,b,cに偶数が含まれa+b+cが偶数ならすべて2で割り切れ、
a+b+cとab+bc+caが3の倍数ならばすべて3で割り切れる)
実際、
(a,b,c)=(1,1,1)ならば最大公約数は3
(a,b,c)=(1,1,2)ならば最大公約数は2
(a,b,c)=(1,1,3)ならば最大公約数は1
(a,b,c)=(1,1,4)ならば最大公約数は6
となるので、
a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数としてあり得るものは
1,2,3,6。
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