数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / jacobson根基の同値な性質について / Page: 0]

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■50906 / 親記事)

　jacobson根基の同値な性質について

□投稿者/ もけもけ一般人(1回)-(2021/07/10(Sat) 00:52:42)

Rのjacobson根基をJ(R)とする。但しここでのjacobson根基の定義は、Rの全ての極大イデアルの共通部分とする。

この時、rがJ(R)の元であることと、1+〈r〉の任意の元が単元であることが同値であることを示せ。(〈r〉はrで生成される単項イデアルです)

この問題が分かりません。どなたか解説して頂けませんか？

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■51788 / ResNo.1)

　Re[1]: jacobson根基の同値な性質について

▲▼■

□投稿者/ nacky 一般人(1回)-(2021/12/22(Wed) 09:40:56)

背理法を使いましょう.
r∈J(R), a∈R とし 1+ar が単元でないと仮定して矛盾を導きます.

1+ar が単元でないのである極大イデアル M が存在して 1+ar∈M が成り立ちます.
r は J(R) の元なので r∈M です.
すると 1=(1+ar)-ar∈M となり M が極大イデアルであることに矛盾します.
よって 1+ar は単元です.

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