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■50850 / 親記事)  放物線の面積
  
□投稿者/ 要人 一般人(1回)-(2021/06/19(Sat) 09:55:27)
    放物線C:y=(1/2)x^2上の点Pのx座標をa(>0)とする。
    点PにおけるCの接線をl[1]、l[1]と直交するCの接線をl[2]とする。
    このとき、二直線l[1]、l[2]と放物線Cで囲まれる部分の面積を求めよ。

    教えて下さい。
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■50851 / ResNo.1)  Re[1]: 放物線の面積
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2021/06/19(Sat) 14:24:45)
    y=(1/2)x^2
    より
    y'=x (A)
    ∴l[1]の方程式は
    y=a(x-a)+(1/2)a^2
    整理して
    y=a(x-a/2) (B)
    又l[1]⊥[2]により
    l[2]の傾きは-1/a
    ∴l[2]の接点のx座標をbとすると(A)から
    -1/a=b
    ∴l[2]の方程式は
    y=-(1/a)(x+1/a)+(1/2)(-1/a)^2
    整理をして
    y=-(1/a){x+1/(2a)} (C)
    (B)(C)を連立して解くことにより
    l[1],l[2]の交点のx座標は
    (1/2)(a-1/a)
    以上とC,l[1],l[2]の位置関係により
    求める面積をSとすると
    S=∫[-1/a→(1/2)(a-1/a)]{(1/2)x^2+(1/a){x+1/(2a)}}dx
    +∫[(1/2)(a-1/a)→a]{(1/2)x^2-a(x-a/2)}dx
    =(1/2)∫[-1/a→(1/2)(a-1/a)]{{x+1/(2a)}^2}dx
    +(1/2)∫[(1/2)(a-1/a)→a]{(x-a/2)^2}dx
    =(1/6)(a/2)^3+(1/6){1/(2a)}^3+(1/6)(a/2)^3+(1/6){(1/(2a)}^3
    =(1/24)(a^3+1/a^3)
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■50852 / ResNo.2)  Re[2]: 放物線の面積
□投稿者/ 要人 一般人(2回)-(2021/06/19(Sat) 17:23:12)
    ありがとうございます。
    本当に分かりやすかったです。
解決済み!
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