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■50651 / 親記事)  Σと積分の交換
  
□投稿者/ 7610 一般人(1回)-(2021/03/07(Sun) 17:38:54)
      納k:1〜N]∫[x:-π〜π]f(x)cos(kx)dx

     = ∫[x:-π〜π]f(x)cos(x)dx + ∫[x:-π〜π]f(x)cos(2x)dx + …

     = ∫[x:-π〜π]f(x)dx納k:1〜N]cos(kx)

    という変形は可能ですか?

     可能ならば証明したいのですが

      ∫f(x)cos(kx)dx = -sin(kx)f(x) + ∫f'(x)sin(kx)dx

    ですから、右辺の第1項は定積分でゼロになるところまではわかりますが、それからがわかりません。


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■50654 / ResNo.1)  Re[1]: Σと積分の交換
□投稿者/ X 一般人(7回)-(2021/03/07(Sun) 18:52:51)
    そのような変形はできません。
    定数でない被積分関数を積分の外に出すことは
    できないからです。
    変形前はxの関数ではないのに、変形後は
    xの関数になっているのは明らかに
    変ですよね。

    但し
    納k:1〜N]∫[x:-π〜π]f(x)cos(kx)dx
    =∫[x:-π〜π]f(x){納k:1〜N]cos(kx)}dx
    であれば、問題ありません。


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■50655 / ResNo.2)  Re[2]: Σと積分の交換
□投稿者/ 7610 一般人(3回)-(2021/03/07(Sun) 19:01:08)
    > 定数でない被積分関数を積分の外に出すことは
    できないからです。

    ですよねえ。実はさるサイトでもっと複雑なケースの積分だったのですが私自身が勘違いしたのかもしれません。
     素早い回答ありがとうございました。
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■50656 / ResNo.3)  Re[2]: Σと積分の交換
□投稿者/ 7610 一般人(4回)-(2021/03/07(Sun) 19:43:26)
    > 但し
    > 納k:1〜N]∫[x:-π〜π]f(x)cos(kx)dx
    > =∫[x:-π〜π]f(x){納k:1〜N]cos(kx)}dx
    > であれば、問題ありません。
    >
    > すみません。まさにこちらでした。ありがとう。
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