| 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。 【証明】z^p-y^p=(z+y)(z-y)と変形して、 x^p=(z+y)(z-y)…(1)を考える。 (x^p/a)a=(z+y)(z-y)…(2) (x^p/1)1=(z+y)(z-y)…(3) 等式の性質により、(3)が成り立つならば、(1),(2)も成り立つ。 (3)が成り立たないならば、(1),(2)も成り立たない。 (3)を(x^p/1)=A、1=B、(z+y)=C、(z-y)=Dとおく。 AB=CDならば、B=Dのとき、A=Cとなる。 1=(z-y)は、z=5、y=4のとき、成り立つ。 これを、(x^p/1)=(z+y)に代入すると、x=3のとき、成り立つ。 (3)が成り立つので、(1),(2)も成り立つ。 ∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
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