数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■50031 / 親記事)  三次関数と長方形
  
□投稿者/ ブリディット 一般人(1回)-(2019/09/07(Sat) 15:31:04)
    xy平面上に原点Oと点A(1,1)があり、長方形Tは線分OA上に二つの頂点(一つの辺)があり、
    残りの二つの頂点はどちらもy=x^3上にある。このような長方形Tの面積の最大値はいくらか。

    たぶん簡単な問題のはずなのですが計算がうまくいきません。よろしくお願いします。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50033 / ResNo.1)  Re[1]: 三次関数と長方形
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2019/09/07(Sat) 19:52:26)
    線分OA上にない2頂点をP(p,p^3),Q(q,q^3)(0<p<q)とすると
    直線PQの傾きが1であることから(q^3-p^3)/(q-p)=p^2+pq+q^2=1
    これをqについて解くとq={-p+√(4-3p^2)}/2(∵q>0)
    Pから線分OAに下した垂線の長さは(p-p^3)/√2、
    PQの長さは(q-p)√2なので
    長方形の面積は
    (p-p^3)(q-p)=(p-p^3)({-p+√(4-3p^2)}/2-p)
    =(p-p^3){√(4-3p^2)-3p}/2
    f(p)=(p-p^3){√(4-3p^2)-3p}とおくと
    f'(p)={2(6p^4-9p^2+2)-6p(1-2p^2)√(4-3p^2)}/√(4-3p^2)
    面積が最大のときf'(p)=0すなわち
    2(6p^4-9p^2+2)-6p(1-2p^2)√(4-3p^2)=0
    整理して
    36p^8-90p^6+69p^4-18p^2+1=0
    0<p<1/√3の範囲でこれを解くと
    p=√{90-6√33-6√(90-6√33)}/12
    これを面積の式に代入して整理すると
    (面積の最大値)=√(138-22√33)/24

    # 人力で解くのは大変だと思いますが、自作問題ですか?

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50039 / ResNo.2)  Re[2]: 三次関数と長方形
□投稿者/ ブリディット 一般人(2回)-(2019/09/09(Mon) 11:51:13)
    ありがとうございます。

    恐れ入りますが、他の変数を考えることで簡単になったりするのでしょうか?
    例えばPQとy=x^3のもう一つの交点を(t,t^3)とおいてtで考えるなど。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50041 / ResNo.3)  Re[3]: 三次関数と長方形
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2019/09/09(Mon) 12:35:18)
    確かにそうすると手作業で求められるレベルになりますね。
    気付きませんでした。

    長方形の頂点のうちOA上にある頂点をx座標の大きい順にR,S、
    その他の頂点をx座標の小さい順にP,Qとし、
    直線PQとy=x^3のもう一つの交点をT(t,t^3)とおく。
    するとP,Qの範囲の条件から-2√3/3<t<-1となる。
    Tを通る傾き1の直線はy=x+t^3-t
    y=x^3とy=x+t^3-tからP,Qのx座標を求めると
    x={-t±√(4-3t^2)}/2
    PSの長さはPのx座標とy座標の差の1/√2倍であり、
    x座標とy座標の差はx-y=x-x^3=t-t^3なので、PS=(t-t^3)/√2
    PQの長さはPとQのx座標の差の√2倍なのでPQ=√(4-3t^2)・√2
    よって長方形の面積は(t-t^3)√(4-3t^2) … (1)

    (面積)^2=f(t)=(t-t^3)^2・(4-3t^2)=-3t^8+10t^6-11t^4+4t^2とおくと
    f'(t)=-24t^7+60t^5-44t^3+8t=-4t(t-1)(t+1)(6t^4-9t^2+2)
    -2√3/3<t<-1なので6t^4-9t^2+2=0からt=-√(27+3√33)/6
    これを(1)に代入すると、最大の面積は√(138-22√33)/24

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50070 / ResNo.4)  Re[4]: 三次関数と長方形
□投稿者/ ブリディット 一般人(3回)-(2019/09/17(Tue) 08:55:08)
    t^2をuとでもおけばさらに計算しやすくなりそうですね。
    とても参考になりました。有難うございました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



スレッド内ページ移動 / << 0 >>

このスレッドに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター