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■49958 / 親記事)  対偶について
  
□投稿者/ あすなろ 一般人(1回)-(2019/08/22(Thu) 21:40:54)
     某掲示板に投稿されていた問題です。そこで一応解決されているのですが、対偶についてよくわからないことがあるので教えてください。

    (2)は
     ある二次元正方行列 X、Y に対し

      XA≠[O]∧AY≠[O]∧XAY = [O] ⇒ ad - bc≠0 ・・・・・@

    を証明せよということになると思うのですが、@の対偶は

      ad - bc = 0 ⇒ XA=[O] ∨ AY=[O] ∨ XAY≠[O]・・・・・A

    となり、結論の3つの命題のうちどれか1つ成り立てばAは真になるので、@で
      XA≠[O]∧AY≠[O]
    と仮定されていることを考えれば結局

      ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]・・・・・A’

    を証明できればいいのでしょうか?

1000×472 => 250×118

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■49961 / ResNo.1)  Re[1]: 対偶について
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2019/08/22(Thu) 22:14:55)
    > @でXA≠[O]∧AY≠[O]と仮定されていることを考えれば

    @では「XA≠[O]∧AY≠[O]」は仮定されていません。

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■49962 / ResNo.2)  Re[2]: 対偶について
□投稿者/ あすなろ 一般人(2回)-(2019/08/22(Thu) 22:22:00)
     回答まことにありがとうございます。

     ある二次元正方行列 X、Y に対し
      XA≠[O], AY≠[O], XAY = [O] が成立するとき・・・

     この文章は
      XA≠[O]
      AY≠[O]
      XAY = [O]
    という3つの命題が同時に成立することを意味しないのでしょうか?
    「,」は「∧」にしか思えないですけど。

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■49964 / ResNo.3)  Re[3]: 対偶について
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2019/08/22(Thu) 22:39:04)
    XA≠[O]とAY≠[O]が「仮定」で
    XAY = [O]が「仮定」でない理由は何ですか?

    もし「XA≠[O], AY≠[O]」を「前提条件」と考えたいのであれば、
    最初の命題が
    二次元正方行列X、YがあってXA≠[O]∧AY≠[O]を満たしている場合、
    (ここまでを前提としたうえで)
    XAY = [O] ⇒ ad - bc≠0 ・・・・・@’
    そしてこの対偶が
    ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]・・・・・A’
    です。

    XA≠[O]∧AY≠[O]∧XAY = [O] ⇒ ad - bc≠0 ・・・・・@
    という命題を変えずに(XA≠[O]∧AY≠[O]の部分が
    最初から仮定されているものと考えて)対偶っぽいものを考えるならば、
    XA≠[O]∧AY≠[O]∧ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]・・・・・A’’
    のようにする必要があります。

    XA≠[O]∧AY≠[O]∧XAY = [O] ⇒ ad - bc≠0 ・・・・・@

    ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]・・・・・A’
    は対応していません。

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■49967 / ResNo.4)  Re[4]: 対偶について
□投稿者/ あすなろ 一般人(3回)-(2019/08/22(Thu) 23:07:59)
    > XA≠[O]とAY≠[O]が「仮定」で
    > XAY = [O]が「仮定」でない理由は何ですか?

     ああ! なるほど。ということは最初に戻って

      ad - bc = 0 ⇒ XA=[O] ∨ AY=[O] ∨ XAY≠[O]・・・・・A


      ad - bc = 0 ⇒ XA=[O]・・・・・@
      ad - bc = 0 ⇒ XA=[O]・・・・・A
      ad - bc = 0 ⇒ XAY≠[O]・・・・・B
    のどれかが成り立てば真になる。
    B)の場合
    (以下 t[p q] や t[α β] は列ベクトルを表します)

     (1)の結果より p、q、r、s は 0 でない実数でいいので
      XA = Xt[p q][r s] = t[α β][r s]≠[O]
      AY = t[p q][r s]Y = t[p q][γ δ]≠[O]
    となる実数α、β、γ、δが存在する。
      t[α β] = t[0 0] ⇒ XA = [O]
    なのでαかβのどちらか一方は0ではない。
       [γ δ] = [0 0] ⇒ AY = [O]
    なのでγかδのどちらか一方は0ではない。

     したがって
      XAY = Xt[p q][r s]Y = t[α β][γ δ]≠[O].
     よってAが証明された。
     こんな感じでいいのでしょうか?

     @、Aと(#1)を直接証明する方法はただいま格闘中ですが、@とAはそもそも成り立つのでしょうか?

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■49968 / ResNo.5)  Re[5]: 対偶について
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2019/08/22(Thu) 23:21:20)
    > (1)の結果より p、q、r、s は 0 でない実数でいいので

    どこから「0でない」が出てくるのですか?

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■49969 / ResNo.6)  Re[6]: 対偶について
□投稿者/ あすなろ 一般人(4回)-(2019/08/22(Thu) 23:39:20)
      det(t[p q][r s]) = 0
    だから p、q、r、s は 任意の実数でいいのかしらん?

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■49971 / ResNo.7)  Re[7]: 対偶について
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2019/08/23(Fri) 00:05:42)
    (1)では0でないとは言っていませんね。
    例えばA=Oのときp=q=r=s=0なども含んでいますし、
    p,q,r,sがどんな実数でもdet(t[p q][r s])=0になりますので
    p,q,r,sは任意の実数をとれますね。

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■49972 / ResNo.8)  Re[8]: 対偶について
□投稿者/ あすなろ 一般人(5回)-(2019/08/23(Fri) 00:20:06)
     深夜までおつきあいくださりありがとうございました。また、わからないことがあったらよろしくお願いいたします。
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