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■49953 / 親記事)  sinの関係
  
□投稿者/ アマンダ 一般人(1回)-(2019/08/22(Thu) 18:23:31)
    △ABCに対して
    sin((π-A)/4) * sin((π-B)/4) * sin((π-C)/4) ≧ sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2)
    が成り立つことの証明を教えて下さい。
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■49956 / ResNo.1)  Re[1]: sinの関係
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2019/08/22(Thu) 19:33:44)
    0<x<π,0<y<πに対して
    {sin(x-y)}^2≧0 (-π<x-y<πなので等号成立条件はx=y)
    (sinxcosy-cosxsiny)^2≧0
    (sinxcosy)^2+(cosxsiny)^2-2sinxcosxsinycosy≧0
    (sinxcosy)^2+(cosxsiny)^2+2sinxcosxsinycosy≧4sinxcosxsinycosy
    (sinxcosy+cosxsiny)^2≧4sinxcosxsinycosy
    ∴{sin(x+y)}^2≧(sin2x)(sin2y)
    (x,y)=(A/4,B/4)とすると {sin((A+B)/4)}^2≧sin(A/2)sin(B/2)
    (x,y)=(B/4,C/4)とすると {sin((B+C)/4)}^2≧sin(B/2)sin(C/2)
    (x,y)=(C/4,A/4)とすると {sin((C+A)/4)}^2≧sin(C/2)sin(A/2)
    3式とも両辺正なので辺々掛けて
    {sin((A+B)/4)sin((B+C)/4)sin((C+A)/4)}^2≧{sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^2
    sinの値は全て正なので
    sin((A+B)/4)sin((B+C)/4)sin((C+A)/4)≧sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
    A+B+C=πなので
    sin((π-A)/4)sin((π-B)/4)sin((π-C)/4)≧sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
    なお、等号成立条件はA/4=B/4=C/4すなわち△ABCが正三角形の場合。
    (証明終)

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■49960 / ResNo.2)  Re[2]: sinの関係
□投稿者/ アマンダ 一般人(2回)-(2019/08/22(Thu) 21:48:17)
    こりゃエレガントですね。
    ありがとうございました。
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