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■49947 / 親記事)  2^(1/3)とωと√3
  
□投稿者/ おーうぇん 一般人(1回)-(2019/08/21(Wed) 19:39:45)
    ω=(-1+i√3)/2とします。ω^3=1です。
    以下の条件をみたす有理数a[1]〜a[6]、b[1]〜b[6]は存在しますか?
    √3={a[1]+a[2]2^(1/3)+a[3]4^(1/3)+a[4]ω+a[5]2^(1/3)ω+a[6]4^(1/3)ω}/{b[1]+b[2]2^(1/3)+b[3]4^(1/3)+b[4]ω+b[5]2^(1/3)ω+b[6]4^(1/3)ω}
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■49948 / ResNo.1)  Re[1]: 2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ らすかる 一般人(1回)-(2019/08/21(Wed) 23:24:08)
    存在しません。
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■49949 / ResNo.2)  Re[2]: 2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ おーうぇん 一般人(2回)-(2019/08/21(Wed) 23:40:18)
    なぜでしょうか?
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■49950 / ResNo.3)  Re[3]: 2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ らすかる 一般人(2回)-(2019/08/21(Wed) 23:41:54)
    2019/08/21(Wed) 23:50:51 編集(投稿者)

    条件を満たす有理数が存在した場合、a[1]〜a[6],b[1]〜b[6]全ての分母の
    最小公倍数をa[1]〜a[6],b[1]〜b[6]全てに掛けると
    係数が全て整数になるので、条件を満たす「互いに素な整数」
    a[1]〜a[6],b[1]〜b[6]が存在しないことを言えば十分。
    よってそのように仮定する。
    分母を払って
    a[1]+a[2]2^(1/3)+a[3]4^(1/3)+a[4]ω+a[5]2^(1/3)ω+a[6]4^(1/3)ω
    ={b[1]+b[2]2^(1/3)+b[3]4^(1/3)+b[4]ω+b[5]2^(1/3)ω+b[6]4^(1/3)ω}√3
    式が長いのでa[1]〜a[6]をa,b,c,d,e,f、b[1]〜b[6]をg,h,j,k,l,m、
    2^(1/3)をtに置き換えると(すなわち4^(1/3)=t^2)、
    a+bt+ct^2+ωd+ωet+ωft^2=(g+ht+jt^2+ωk+ωlt+ωmt^2)√3
    ωが掛かっている項とそうでない項を分けて
    a+bt+ct^2-(g+ht+jt^2)√3=ω{(k+lt+mt^2)√3-(d+et+ft^2)}
    右辺だけωが掛かっているため(左辺)=(右辺)=0でなければならない。すなわち
    a+bt+ct^2-(g+ht+jt^2)√3=0 … (1)
    かつ
    (k+lt+mt^2)√3-(d+et+ft^2)=0 … (2)
    (1)から
    a+bt+ct^2=(g+ht+jt^2)√3
    t^3=2であることに注意して両辺を2乗すると
    (a^2+4bc)+2(c^2+ab)t+(b^2+2ac)t^2=3{(g^2+4hj)+2(j^2+gh)t+(h^2+2gj)t^2}
    tについて整理して
    {a^2+4bc-3(g^2+4hj)}+2{c^2+ab-3(j^2+gh)}t+{b^2+2ac-3(h^2+2gj)}t^2=0
    補題から
    a^2+4bc-3(g^2+4hj)=0 … (3)
    c^2+ab-3(j^2+gh)=0 … (4)
    b^2+2ac-3(h^2+2gj)=0 … (5)
    (3)をmod4で考えるとa,gは偶数でなければならない。
    a,gが偶数なので、(5)をmod4で考えるとb,hも偶数でなければならない。
    a,b,g,hが偶数なので、(4)をmod4で考えるとc,jも偶数でなければならない。
    従ってa,b,c,g,h,jは全て偶数。
    全く同様に、(2)からd,e,f,k,l,mも全て偶数となり、仮定と矛盾。

    補題
    p,q,rが有理数でp+qt+rt^2=0…(a)(t=2^(1/3))のときp=q=r=0
    補題の証明
    pqr≠0と仮定して(a)をtの二次方程式とみてtについて解くと
    t={-q±√(q^2-4pr)}/(2r)
    となるが、左辺は三次の無理数、右辺は虚数または二次の無理数または有理数となり矛盾。
    従ってpqr=0なので、(簡単なので途中省略)p=q=r=0。

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■49951 / ResNo.4)  Re[4]: 2^(1/3)とωと√3
□投稿者/ おーうぇん 一般人(3回)-(2019/08/22(Thu) 06:52:32)
    じっくりと読ませていただきました。
    要領よく計算するだけでなく4で割った余りを見るなど大変面白く勉強になりました。
    有り難うございました。
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