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■48988 / 親記事)  3次関数について。
  
□投稿者/ コルム 一般人(37回)-(2019/01/17(Thu) 19:21:38)
    aは実数とする。
    関数f(x)=x^4-6x^2-4ax+a^2は3つの極値を持つものとする。
    (1)関数y=x^3-3xのグラフを書け。
    (2)aについて条件を求めよ。
    (3)f(x)の3つの極値の和が取り得る値の範囲を求めよ。
    教えていただけると幸いです。
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■49009 / ResNo.1)  Re[1]: 3次関数について。
□投稿者/ muturajcp 付き人(50回)-(2019/02/01(Fri) 19:37:40)
    aは実数とする。
    関数f(x)=x^4-6x^2-4ax+a^2は3つの極値を持つものとする。
    (1)
    関数
    y=x^3-3x
    をxで微分すると
    y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
    だから
    x<-1の時y'>0だからyは増加↑
    x=-1の時y=2
    -1<x<1の時y'<0だからyは減少↓
    x=1の時y=-2
    x>1の時y'>0だからyは増加↑

    (2)
    f'(x)=4x^3-12x-4a=4(x^3-3x-a)
    f"(x)=12(x+1)(x-1)
    だから
    x→-∞の時f'(x)→-∞
    x<-1の時f"(x)>0だからf'(x)は増加↑
    f'(-1)=4(2-a)
    -1<x<1の時f"(x)<0だからf'(x)は減少↓
    f'(1)=4(-2-a)
    x>1の時f"(x)>0だからf'(x)は増加↑
    x→∞の時f'(x)→∞
    f(x)が極値を
    x<-1で1つ
    -1<x<1で1つ
    1<xで1つ
    の3つ持つために
    f'(-1)=4(2-a)>0
    f'(1)=4(-2-a)<0
    となるから

    -2<a<2

    (3)
    f'(x)=4(x^3-3x-a)=0
    の3次方程式の3つの解をα,β,γとすると
    x^3-3x-a
    =(x-α)(x-β)(x-γ)
    =x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ
    α+β+γ=0
    αβ+βγ+γα=-3
    αβγ=a
    (α+β+γ)^2=0
    =α^2+β^2+γ^2+2(αβ+βγ+γα)=0
    =α^2+β^2+γ^2+2(-3)=0
    α^2+β^2+γ^2=6
    α^3=3α+a
    β^3=3β+a
    γ^3=3γ+a
    α^4=3α^2+aα
    β^4=3β^2+aβ
    γ^4=3γ^2+aγ
    α^4+β^4+γ^4=3(α^2+β^2+γ^2)=3*6=18

    f(x)の3つの極値の和をSとすると
    S
    =f(α)+f(β)+f(γ)
    =α^4+β^4+γ^4-6(α^2+β^2+γ^2)-4a(α+β+γ)+3a^2
    =18-36+3a^2
    =3(a^2-6)

    -2<a<2
    0≦a^2<4
    -6≦a^2-6<-2
    -18≦3(a^2-6)<-6


    -18≦S<-6
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■49819 / ResNo.2)  Re[2]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(4回)-(2019/07/26(Fri) 15:37:04)
    (2)をもう少し詳しく教えていただけると幸いです。
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■49820 / ResNo.3)  Re[1]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(5回)-(2019/07/26(Fri) 15:47:57)
    無限大の場合分けは、一応書いてあるのでしょうか?教えていただけると幸いです。
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■49821 / ResNo.4)  Re[2]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(6回)-(2019/07/26(Fri) 15:48:34)
    (2)です。
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■49822 / ResNo.5)  Re[3]: 3次関数について。
□投稿者/ nakaiti 付き人(60回)-(2019/07/26(Fri) 17:26:35)
    (2)は誘導に乗って解くこともできて f'(x)=4(x^3-x-a)=0 が異なる3つの実数解を持てばよいので
    x^3-x=a
    が異なる実数解を持てばよい。これは y=x^3-x と y=a というグラフが異なる3点で交わることと同じで(1)で書いたグラフを考えるとそのための条件が -2<a<2 であることがわかります。
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■49830 / ResNo.6)  Re[1]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(7回)-(2019/07/28(Sun) 16:14:22)
    では、x→∞の時、、、のところと、x→ー∞の時、、、のところは、どうなのでしょうか?教えていただけると幸いです。
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■50054 / ResNo.7)  Re[2]: 3次関数について。
□投稿者/ コルム 一般人(1回)-(2019/09/12(Thu) 17:14:36)
    すみません。
    x→∞の時f'(x)→∞は、書かなくてもよいのでしょうか?
    教えていただけると幸いです。
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■50055 / ResNo.8)  Re[3]: 3次関数について。
□投稿者/ マルチポスト撲滅委員会 一般人(1回)-(2019/09/12(Thu) 18:27:57)
    ttps://8323.teacup.com/bob/bbs

    ここで言われたことを全然反省しとらんな。
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