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■48857 / 親記事)  等式
  
□投稿者/ 喰レポ 一般人(1回)-(2018/10/07(Sun) 13:25:11)
    教えて下さい。

    相異なる数x,y,zが
    (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)
    を満たしているとき、x,y,zのうち少なく
    とも一つは虚数であることを示せ。
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■48858 / ResNo.1)  Re[1]: 等式
□投稿者/ らすかる 一般人(28回)-(2018/10/07(Sun) 14:16:17)
    (2x-1)/(x-y)=(2y-1)/(y-z)=(2z-1)/(z-x)=kとおく。
    もしk=0とすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
    分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので
    k≠0,x≠1/2,y≠1/2,z≠1/2
    k(x-y)=2x-1から y=((k-2)x+1)/k … (1)
    k(y-z)=2y-1から z=((k-2)y+1)/k … (2)
    k(z-x)=2z-1から x=((k-2)z+1)/k … (3)
    (1)を(2)に代入して整理すると
    z=(((k-2)^2)x+2k-2)/k^2 … (4)
    (4)を(3)に代入して整理すると
    (3k^2-6k+4)(2x-1)=0
    x≠1/2なので 3k^2-6k+4=0
    これを解いてk=1±i/√3
    x,y,zが全て実数のときkは実数となるので、
    k=1±i/√3であることからx,y,zのうち少なくとも一つは虚数。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■48859 / ResNo.2)  Re[1]: 等式
□投稿者/ らすかる 一般人(29回)-(2018/10/07(Sun) 14:36:40)
    別解
    もし式の値が0だとすると2x-1=2y-1=2z-1=0からx=y=z=1/2となり
    分母の条件 x-y≠0,y-z≠0,z-x≠0を満たさないので矛盾。
    よって式の値は0ではないので全項を逆数にしても等号は成り立つ。
    (x-y)/(2x-1)=(y-z)/(2y-1)=(z-x)/(2z-1)から
    2(x-y)/(2x-1)=2(y-z)/(2y-1)=2(z-x)/(2z-1)
    1-(2y-1)/(2x-1)=1-(2z-1)/(2y-1)=1-(2x-1)/(2z-1)
    (2y-1)/(2x-1)=(2z-1)/(2y-1)=(2x-1)/(2z-1)
    この式の値をkとするとk^3=1だが
    もしk=1とするとx=y=zとなり矛盾するので
    kは1の虚数三乗根。
    従ってx,y,zのうち少なくとも二つは虚数とわかる。

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■48860 / ResNo.3)  Re[2]: 等式
□投稿者/ 喰レポ 一般人(2回)-(2018/10/07(Sun) 17:33:47)
    大変エレガントな別解に感動いたしました。
    ありがとうございました。
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