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■48808 / 親記事)  確率
  
□投稿者/ 感謝 一般人(4回)-(2018/09/12(Wed) 18:20:41)
    表が出やすいコインが何枚かある。
    これらを一斉に投げるとき、
    表が出るコインの枚数が
    裏が出るコインの枚数以上になる確率が、
    コインの表が出る確率以上になることは
    当たり前のことでしょうか?
    それとも証明すべきことなのでしょうか?

    もし証明がいることなら、その証明を教えてほしいです。
    よろしくお願いします。
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■48809 / ResNo.1)  Re[1]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2018/09/13(Thu) 08:26:07)
    証明すべきことだと思います。

    コインの枚数をn枚、表が出る確率をp(1/2<p<1)、
    表が出るコインの枚数の方が裏が出るコインの枚数より多い確率をq、
    表が出るコインがk枚になる確率をa[k]とすると
    a[k]=nCk・p^k・(1-p)^(n-k)
    またp>1/2から
    2p>1
    p>1-p
    ∴p/(1-p)>1

    n=2m+1(m≧1)のとき
    a[2m+1]/a[0]={p/(1-p)}^(2m+1) から a[2m+1]>a[0]・{p/(1-p)}^n>a[0]{p/(1-p)}
    同様に
    a[2m]/a[1]={p/(1-p)}^(2m-1) から a[2m]>a[1]{p/(1-p)}
    a[2m-1]/a[2]={p/(1-p)}^(2m-3) から a[2m-1]>a[2]{p/(1-p)}
    以下同様に
    a[2m-2]>a[3]{p/(1-p)}
    a[2m-3]>a[4]{p/(1-p)}
    ・・・
    a[m+2]>a[m-1]{p/(1-p)}
    a[m+1]=a[m]{p/(1-p)} (※ここだけ{p/(1-p)}^1なので等号)
    なので
    q=Σ[k=m+1〜2m+1]a[k]>Σ[k=0〜m]a[k]{p/(1-p)}=(1-q){p/(1-p)}
    q>(1-q){p/(1-p)}
    q(1-p)>(1-q)p
    q-pq>p-pq
    ∴q>p

    n=2m(m≧1)のときは上記のようにするとa[m]だけ余ることに注意して
    q=Σ[k=m〜2m]a[k]=a[m]+Σ[k=m+1〜2m]a[k]
    >a[m]+Σ[k=0〜m-1]a[k]{p/(1-p)}=a[m]+(1-q){p/(1-p)}>(1-q){p/(1-p)}
    から同様にq>p

    n=1のときはq=p

    従って表が出るコインの枚数が裏が出るコインの枚数以上になる確率は、
    コインの表が出る確率以上。

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■48812 / ResNo.2)  Re[2]: 確率
□投稿者/ 感謝 一般人(5回)-(2018/09/14(Fri) 20:28:35)
    当たり前のように思っていましたが、
    証明はなかなか工夫がいるのですね。
    有り難うございました。
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