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■48792 / 親記事)  確率
  
□投稿者/ 感謝 一般人(1回)-(2018/09/06(Thu) 12:15:44)
    表が出やすいコインが何枚かある。
    これらを一斉に投げるとき
    表が出るコインが偶数枚ある確率と
    表が出るコインが奇数枚ある確率は
    どちらの方が大きいか?

    お願いします。
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■48793 / ResNo.1)  Re[1]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2018/09/06(Thu) 15:54:16)
    全体が偶数枚なら偶数枚になる確率の方が高く、
    全体が奇数枚なら奇数枚になる確率の方が高い。
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■48797 / ResNo.2)  Re[1]: 確率
□投稿者/ 感謝 一般人(2回)-(2018/09/10(Mon) 11:40:05)
    有り難うございます。

    それは直感的に分かることなのでしょうか?
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■48798 / ResNo.3)  Re[2]: 確率
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2018/09/10(Mon) 14:17:04)
    全体が1枚のとき明らかに奇数枚になる確率が高いですね。
    表が出る確率をp(>1/2)、全体がn枚のときに
    表の枚数の偶奇がnと同じである確率をq(>1/2)とすると、
    それに1枚追加して全体をn+1枚にしたとき、
    追加した1枚が表になる確率はpなので
    表の枚数の偶奇がn+1と同じになる確率は
    pq+(1-p)(1-q)={(2p-1)(2q-1)+1}/2>1/2
    よって数学的帰納法により全体の枚数と表の枚数の偶奇が
    同じになる確率は1/2より大きくなります。

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■48799 / ResNo.4)  Re[1]: 確率
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2018/09/10(Mon) 19:53:49)
    横から失礼します。
    らすかるさんの解法を見て閃いたので、一応別解として書き込ませて頂きます。
    # かなり端折って書きます。

    組み合わせの数nCrをC(n, r)と記述します。
    コインの表が出る確率をpとすると1/2 < p ≦ 1です。
    表になるコインの枚数と全コインの枚数nの奇遇が一致する確率をa[n]とします。
    奇遇が一致しない確率をb[n]とします。
    # らすかるさんの記述のqが私の記述のa[n]と同義。

    n = 1のとき、a[1] = p, b[1] = 1-pはほぼ自明。

    n = 2のときは、コイン1とコイン2のの表裏は
    (コイン1, コイン2) = (表, 表)(表, 裏)(裏, 表)(裏, 裏)
    の4通りなので、
    a[2] = C(2, 2)(p^2)+C(2, 0)((1-p)^2)
    b[2] = C(2, 1)p(1-p)
    となります。

    一般のnでは、n = 2の場合から推論して、nが偶数のときs = 0, nが奇数のときs = 1として
    a[n] = C(n, n)(p^n)((1-p)^0)+C(n, n-2)(p^(n-2))((1-p)^2)+・・・+C(n, s)(p^s)((1-p)^(n-s))
    b[n] = C(n, n-1)(p^(n-1))((1-p)^1)+C(n, n-3)(p^(n-3))((1-p)^3)・・・+C(n, 1-s)(p^(1-s))((1-p)^(n-s+1))

    C(n, r) = C(n, n-r)という性質と、二項定理を使えば
    a[n]+b[n] = {p+(1-p)}^n = 1
    a[n]-b[n] = {p-(1-p)}^n = (2p-1)^n

    2p-1 > 0ですから、a[n]-b[n] > 0となり、a[n] > 1/2と言えます。
    ちなみに、
    a[n] = (1/2){1+(2p-1)^n} > 1/2
    b[n] = (1/2){1-(2p-1)^n}
    ですね。
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■48806 / ResNo.5)  Re[2]: 確率
□投稿者/ 感謝 一般人(3回)-(2018/09/12(Wed) 08:05:23)
http://感謝
    ふたつの視点から丁寧に説明していただき大変よく理解出来ました。
    有り難うございました。
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